Handbuch der Theorie der Cylinderfunktionen [Zylinderfunktionen]

Description

Die in diesem Handbuche entwickelte Theorie der Cylinderfunktionen weicht von früher gegebenen beträchtlich ab; in der Tat ist sie mit Ausnahme der Kapitel VII, XI, XXVI und XXVII zum größten Teile das Ergebnis eigener Untersuchungen. Natürlich ist trotzdem ein großer Teil der gewonnenen Sätze und Formeln, jedenfalls in etwas speziellerer Form, altbekannt. Es ist überall mein Hauptbestreben gewesen, die Ergebnisse in möglichst allgemeiner Form und nach möglichst allgemeinen Prinzipien herzuleiten. Daher kommt es, daß ich im ersten Teile die Funktion Pi[ny,rho](x) von Lomme1 und die ähnliche Funktion Phi[ny,rho](x) so ausführlich behandelt habe; denn ohne eine eingehendere Theorie dieser Funktionen ist ja in der Tat die systematische Darstellung der Theorie der bestimmten Integrale mit Oylinderfunktionen sowie der Nullentwicklungen in den Schlömi1ch sehen Reihen so gut wie unmöglich. Überdies ist zu bemerken, daß die Lommelsche Funktion schöne Anwendungen der Fourierschen Reihen nach Cylinderfunktionen erlaubt. Die im zweiten Teile gegebene Theorie der bestimmten Integrale mit Cylinderfunktionen scheint ganz und gar neu zu sein und wird hier zum ersten Male veröffentlicht. Über die Anwendung der allgemeinen Prinzipien dieser Theorie habe ich noch zu bemerken, daß man die dort vorkommenden allgemeinen bestimmten Integrale mit Cylinderfunktionen durch die partikulären Integrale der allgemeinen Differentialgleichungen hätte ausdrücken können, so daß es nicht nötig gewesen wäre, jedesmal, wie es im Buche geschieht, eine besondere Konstantenbestimmung zu geben. Titelseite Widmung Vorwort Inhaltsverzeichnis Erster Teil. Fundamentalelgenschaften der Cylinderfunktionen. Kapitel I. Die vier speziellen Cylinderfnnktionen. Kapitel II. Eigenschaften der willkürlichen Cylinderfunktionen. Kapitel III. Elementare Integraldarstellungen und Verallgemeinerungen der Besselschen Cylinderfunktion. Kapitel IV. Unbestimmte Integrale und unendliche Reihen mit Cylinderfunktionen. Kapitel V. Die Lommelsche Funktion Pi'[ny,rho](x). Kapitel VI. Die Funktionen Phi[ny,rho](x) und Pi[ny,rho,sigma](x). Kapitel VII. Allgemeine Integraldarstellungen von Schläfli und Sonin. Kapitel VIII. Lineare Differentialgleichungen für die Cylinderfunktionen. Kapitel IX. Lineare Differentialgleichungen für das Produkt Cl[ny](x) * C[1;rho](x). Kapitel X. Angenäherte Darstellungen einer Cylinderfunktion. Kapitel XI. Nullstellen. Untersuchungen von Hurwitz. Zweiter Teil. Bestimmte Integrale mit Cylinderfunktionen. Kapitel XII. Integralbestimmungen durch Reihenentwicklungen. Kapitel XIII. Integraldarstellungen der hypergeometrischen Funktion. Kapitel XIV. Über die Integrale der Differentialgleichung von Malmsten. Kapitel XV. Anwendungen der ersten Methode. Kapitel XVI. Weitere Anwendungen der ersten und zweiten Methode. Kapitel XVII. Anwendungen der dritten und vierten Methode. Kapitel XVIII. Diskontinuierliche Faktoren. Dritter Teil. Entwicklungen analytischer Funktionen nach Cylinderfunktionen. Kapitel XIX. Entwicklung einer Fakultätenreihe. Die Reihe Sum(a[n] * x^n * J[ny+n](x),n) Kapitel XX. Die Neumannschen Reihen erster Art. Kapitel XXI. Die Neumannschen Reihen zweiter Art. Kapitel XXII. Die Kapteynschen Reihen erster und zweiter Art. Kapitel XXIII. Analogien zwischen den Neumannschen und den Kapteynschen Reihen. Vierter Teil. Darstellungen willkürlicher Funktionen durch Cylinderfunktionen. Kapitel XXIV. Allgemeine Funktionentypen mit einem Invariabilitätsbereiche. Kapitel XXV. Nullentwicklungen in den Schlömilchschen Reihen. Kapitel XXVI. Theorie der Fourierschen Reihen nach Dini. Kapitel XXVII. Integraldarstellungen nach Neumann und Hankel. Anhang. - Hilfsformeln und Zusätze. A. Die Gammafunktion B. Die hypergeometrische Funktion C. Die Kugelfunktionen D. Zwei Integralidentitäten E. Trigonometrische Reihen F. Zusätze und Berichtigungen Literaturverzeichnis Alphabetisches Register