Дискретный анализ. Основы высшей алгебры

Description

Эта книга является учебным пособием по основам высшей алгебры. Она написана на основе материалов курса «Дискретный анализ», проводимого многие годы для студентов ФУПМ МФТИ. В ней излагаются начала теории групп, теории колец и теории полей. Особое внимание уделено конечным полям. В качестве примера приложений конечных полей приводятся начальные сведения по теории кодов, исправляющих ошибки. Для студентов, специализирующихся на прикладной математике и изучающих высшую алгебру. Предисловие Введение 1. Группы 1.1. Определение и простейшие свойства 1.2. Примеры групп 1.2.1. Примеры абелевых групп 1.2.2. Группы преобразований 1.2.3. Группы симметрии 1.3. Циклические группы 1.4. Подгруппы 1.5. Задание группы порождающими и соотношениями 1.6. Изоморфизм и гомоморфизм 1.7. Нормальные подгруппы 1.8. Сопряженные элементы 1.9. Действия групп. Лемма Бернсайда 1.10. Факторгруппы 1.11. Ядро гомоморфизма 1.12. Абелевы группы 1.13. Задачи 2. Кольца 2.1. Определение кольца и простейшие свойства 2.2. Кольцо многочленов 2.3. Изоморфизмы и гомоморфизмы колец 2.4. Идеалы 2.5. Кольца классов вычетов 2.6. Тела и поля, максимальные идеалы 2.7. Евклидовы кольца 2.8. Основная теорема арифметики 2.9. Китайская теорема об остатках 2.10. Задачи 3. Конечные поля или поля Галуа 3.1. Поле вычетов по модулю простого числа 3.2. Автоморфизм Фробениуса 3.3. Неприводимые многочлены 3.4. Линейная алгебра над конечным полем 3.5. Корни многочленов над конечным полем 3.6. Мультипликативная группа поля 3.7. Существование поля из p n элементов 3.8. Единственность поля из p n элементов 3.9. Циклические подпространства 3.10. Задачи 4. Коды, исправляющие ошибки 4.1. Основная задача теории кодирования 4.2. Циклические коды 4.3. Коды БЧХ 4.4. Квадратично-вычетные коды 4.5. Совершенный код Голея 4.6. Коды Рида – Соломона 4.7. Коды Рида – Маллера Ответы, указания, решения Список литературы Предметный указатель Содержание