泛函分析

Description

本书是我为大连理工大学应用数学系研究生讲授应用泛函分析的讲义。由于部分学生未学过Banach空间和Hilbert空间，因此第1章扼要地介绍了Banach空间和Hilbert空间的一些基础知识。第2章和第4章讲非线性泛函分析，第3章讲Soholev空间。本书注重应用，由于篇幅所限，主要讲对微分方程的应用。更多的应用可以参看Zeidler：“Nonlinear functional analysis and its applications”。 　　本书讲直观，讲历史，讲理解，讲原型，讲欣赏，讲意境，讲设计，讲洞察，讲猜测，讲发展，简易直接，把握整体，力图使读者有体系自立、定理自出、居高临下、势如破竹的感觉。 第一章 泛函分析基础 §1 拓扑空间 1.1 拓扑空间 1.2 闭集、邻域、聚点、闭包 1.3 邻域基 1.4 Hausdorff 空间、序列的收敛性,映射的连续性 1.5 度量空间 1.6 完备性 1.7 列紧性 1.8 线性拓扑空间· 1.9 半范数 局部凸线性拓扑空间。 1.10 空间C*(2)和C°(2)的拓扑化 1.11 賦范空间及其完备化 1.12 内积空间及其完备化 §2 开映射定理· 2.1 Banach 空间的Bairé性质 2.2 线性算子 2.3 开映射定理 2.4逆算子定理 2.5 闭图形定理 2.6 线性算子的强扩张 §3 共鸣定理 3.1 共鸣定理 3.2共鸣定理的两个推论 3.3 Banach-Sake 定理 §4 Riesz 表现定理 4.1 正交投影定理 4.2 Riesz 表現定理 4.3 Hilbert 空间的共轭空间 4.4 Lax-Milgram 定理 §5 Hahn-Banach 延拓定理 5.1 连续函数的延拓 5.2 Zorn 引理 5.3 线性空间中的Hahn-Banach 延拓定理. 5.4 线性赋范空间中的Hahn-Banach 延拓定理 §6 弱收敛和弱收敛 6.1 弱收敛 Hahn-Banach 延拓定理的推论,共轭空间 Hahn-Banach 延拓定理的几何形式、 凸集分离定理 6.2 弱收敛 6.3 弱列紧 §7 线性算子的共轭算子和弱扩张 7.1 有界线性算子的共轭算子 7.2一般线性算子的共轭算子 7.3 线性算子的(弱)闭扩张 7.4 委微分算子的弱扩张 §8 算子方程 8.1 线性算子的豫解集和谱 8.2 有界线性算子方程 8.3 紧线性算子 8.4 紧线性算子的例——Fredholm 型积分算子 8.5 紧线性算子方程 Riesz-Schauder 理论 习题 第二章索伯列夫空间 §1 L^p(Ω) 空间 1.1 L^p(Ω)空间 (1≤p≤∞)的定义及其基本特性 1.2 L^p(Ω)空间 (1≤p≤∞)的子集为列紧的条件 §2 磨光算子均值逼近 2.1 磨光算子的定义 2.2 对 L^p(Ω) 中函数的均值逼近 2.3 变分法基本引理 2.4 对L^p(Ω)空间 (1≤p≤∞)中函数的均值逼近 2.5 单位分解定理 §3 广义微商 3.1 弱广义微商 3.2强广义微商 逐項求微商 3.3 广义微商对函数的局部依赖性 3.4 广义微商的运算法则 §4 索伯列夫空间 4.1 索伯列夫空间的定义及其基本性质 4.2C*(Q) 在 WMP(Q)(1 ≤p