Метод операторов преобразования и краевые задачи для сингулярных эллиптических уравнений

Description

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие редактора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 Предисловие автора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 Глава 1. В ведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 1.1. Исторические сведения и краткое содержание книги . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 1.2. Краткий очерк истории и современного состояния теории операторов преобразования . 223 1.3. Основные определения, обозначения и свойства: специальные функции, функциональные пространства, интегральные преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 1.3.1. Специальные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 1.3.2. Функциональные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 1.3.3. Основные интегральные преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 Глава 2. Операторы преобразования Сонина—Пуассона—Дельсарта и их модификации . . . 257 2.1. Одномерные операторы преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 2.1.1. Основные конструкции операторов преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 2.1.2. Дробные интегралы типа Римана—Лиувилля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 2.1.3. Связь с преобразованиями Фурье и Ханкеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 2.1.4. Операторы преобразования и функциональные пространства (одномерная теория) 271 2.2. Многомерные операторы преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 2.2.1. Некоторые свойства пространства С. Л. Соболева . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 2.2.2. Определение многомерных операторов преобразования . . . . . . . . . . . . . . . 281 2.2.3. L2-теория многомерных операторов преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 Глава 3. Теория операторов преобразования Бушмана—Эрдейи . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 3.1. Интегральные операторы преобразования Бушмана—Эрдейи первого рода и нулевого порядка гладкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 3.2. Интегральные операторы преобразования Бушмана—Эрдейи второго рода и унитарные операторы преобразования Сонина—Катрахова и Пуассона—Катрахова . . . . . . . . . . 301 3.3. Приложения операторов преобразования Бушмана—Эрдейи, Сонина—Катрахова и Пуассона—Катрахова к дифференциальным уравнениям с особенностями в коэффициентах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 3.3.1. Приложения операторов преобразования Бушмана—Эрдейи к задачам для уравнения Эйлера—Пуассона—Дарбу и лемме Копсона . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 3.3.2. Приложения операторов преобразования Бушмана—Эрдейи, Сонина—Катрахова и Пуассона—Катрахова к установлению формул связи между решениями дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 3.3.3. Приложения операторов преобразования Сонина—Катрахова и Пуассона— Катрахова к решению некоторых интегродифференциальных уравнений . . . . . 307 3.4. Приложения операторов преобразования Бушмана—Эрдейи к установлению эквивалентности норм пространств И. А. Киприянова и весовых пространств С. Л. Соболева . . . . 308 Глава 4. Общие весовые краевые задачи для сингулярных эллиптических уравнений . . . . 312 4.1. Функциональные пространства Hs ν (En+1 + ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 4.1.1. Определения и внутренние теоремы вложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 4.1.2. Некоторые результаты о мультипликаторах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 4.1.3. В есовые следы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 4.2. Функциональные пространства Hs ν (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 4.2.1. Разбиение единицы и определения функциональных пространств . . . . . . . . . 322 4.2.2. Теоремы вложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 4.3. Эллиптическая краевая задача в полупространстве с нелокальными краевыми условиями дробного порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 4.3.1. Постановка краевой задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 4.3.2. Регуляризатор и априорные оценки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 4.4. Общие весовые краевые задачи для сингулярных эллиптических уравнений . . . . . . . 329 4.4.1. Весовая краевая задача в полупространстве. Постоянные коэффициенты . . . . . 329 4.4.2. Весовая краевая задача в полупространстве. Маломеняющиеся коэффициенты . 331 4.4.3. В есовая краевая задача в ограниченной области . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 Глава 5. Новые краевые задачи для уравнения Пуассона с особенностями в изолированных точках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 5.1. Функциональные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 5.1.1. Определение и теоремы вложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 5.1.2. Прямая и обратная теоремы о σ-следах (K-следах) . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 5.2. Новая краевая задача для уравнения Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348 5.2.1. Постановка краевой задачи и изолированные особые точки гармонических функций 348 5.2.2. Существование и априорная оценка решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350 Глава 6. Композиционный метод построения операторов преобразования . . . . . . . . . . . 356 6.1. Общая схема композиционного метода построения операторов преобразования . . . . . 356 6.1.1. B-гиперболические операторы преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 6.1.2. B-эллиптические операторы преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361 6.1.3. B-параболические операторы преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 6.1.4. Операторы сдвига по спектральному параметру типа Лаундеса . . . . . . . . . . 362 Глава 7. Приложения метода операторов преобразования к оценкам решений для дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами и задаче Е. М. Ландиса 364 7.1. Приложения метода операторов преобразования для возмущённого уравнения Бесселя с переменным потенциалом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 7.1.1. Решение основного интегрального уравнения для ядра оператора преобразования 366 7.2. Приложение метода операторов преобразования к задаче Е. М. Ландиса . . . . . . . . . 368 Благодарности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 Валерий Вячеславович Катрахов: краткая биографическая справка . . . . . . . . . . . . . . . 374 Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376