Модели геометрии Лобачевского: учебное пособие для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению 540200 (050200) "Физико-математическое образование"

Description

Титульный лист Выходные данные Содержание Предисловие § 1. Система аксиом геометрии Лобачевского 1.1. Система аксиом плоскости Лобачевского 1.2. Пространственные аксиомы 1.3. Понятие модели Упражнение § 2. Модель Пуанкаре геометрии Лобачевского на евклидовой полуплоскости 2.1. Выбор основных объектов 2.2. Выполнимость требований аксиом принадлежности 2.3. Выполнимость требований аксиом порядка 2.4. Сложное отношение четырех точек в H^2 2.5. Выполнимость требований аксиом меры для отрезков и углов 2.6. Определение движений 2.7. Равенство фигур в H^2. Серединный перпендикуляр отрезка 2.8. Выполнимость требований аксиомы существования треугольника, равного данному 2.9. Выполнимость требования аксиомы существования отрезка данной длины 2.10. Выполнимость требования аксиомы Лобачевского 2.11. Многообразие конформных моделей плоскости Лобачевского 2.12. Модель геометрии Лобачевского в пространстве Упражнения § 3. Простейшие геометрические образы в модели Пуанкаре плоскости Лобачевского 3.1. Общий перпендикуляр двух расходящихся прямых 3.2. Угол параллельности данного отрезка 3.3. Окружность, эквидистанта, орицикл Упражнения § 4. Дифференциально-геометрическое построение модели Пуанкаре геометрии Лобачевского 4.1. Основные дифференциально-геометрические понятия 4.2. Выбор области и метрики 4.3. Геодезические линии 4.4. Пространство (Н^2, ρ) как модель Пуанкаре плоскости Лобачевского 4.5. Вычисление расстояния между точками в (Н^2, ρ) 4.6. Структура движений 4.7. Обобщение по размерности Упражнения § 5. Модель Пуанкаре геометрии Лобачевского в круге 5.1. Вывод метрики и ее свойства 5.2. Расстояние между точками 5.3. Геодезические линии 5.4. Пространство (B^2,d) как модель плоскости Лобачевского 5.5. Структура движений 5.6. Об аксиоматическом построении модели B^2 5.7. Многомерное обобщение Упражнения § 6. Модели Бельтрами и Кэли-Клейна геометрии Лобачевского 6.1. Реализация геометрии Лобачевского в круге наорисфере 6.2. Изображение пучков неевклидовых прямых на орисферическом круге ω 6.3. Модель Бельтрами плоскости Лобачевского 6.4. Модель Кэли-Клейна плоскости Лобачевского 6.5. Связь между моделями Бельтрами и Кэли-Клейна 6.6. Формула Лобачевского 6.7. Многомерное обобщение Упражнения § 7. Реализация плоскости Лобачевского в псевдоевклидовом пространстве 7.1. Псевдоевклидовы пространства 7.2. Метрика псевдосферы пространства Е_1^3 7.3. Внутренняя геометрия псевдосферы 7.4. Неевклидовы прямые на псевдосфере 7.5. Многомерное обобщение Упражнения § 8. Связь между различными моделями плоскости Лобачевского 8.1. Изоморфизм моделей 8.2. Метрическая форма плоскости Лобачевского в модели Бельтрами Упражнения § 9. Примеры применения моделей для доказательства теорем геометрии Лобачевского 9.1. Теорема Пифагора 9.2. Площадь треугольника 9.3. Длина окружности и площадь круга Литература