Сборник зазадач по математической физике

Description

Сборник содержит задачи на вывод уравнений и граничных условий. Большое внимание уделяется различным методам решения краевых задач математической физики. Наряду с ответами к задачам приводятся указания, а для многих задач — решения, иллюстрирующие применение основных методов. Третье издание — 1980 г. Для студентов университетов. Оглавление Предисловие к первому изданию Предисловие к третьему изданию Глава I. Классификация и приведение к каноническому виду уравнений в частных производных второго порядка § 1. Уравнение для функции двух независимых переменных Ответы, указания и решения 1. Уравнение с переменными коэффициентами Ответы, указания и решения 2. Уравнение с постоянными коэффициентами Ответы, указания и решения § 2. Уравнение с постоянными коэффициентами для функции n независимых переменных Ответы, указания и решения Глава II. Уравнения гиперболического типа § 1. Физические задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа; постановка краевых задач Ответы, указания и решения 1. Свободные колебания в среде без сопротивления; уравнения с постоянными коэффициентами Ответы, указания и решения 2. Вынужденные колебания и колебания в среде с сопротивлением; уравнения с постоянными коэффициентами Ответы, указания и решения 3. Задачи о колебаниях, приводящие к уравнениям с непрерывными переменными коэффициентами Ответы, указания и решения 4. Задачи, приводящие к уравнениям с разрывными коэффициентами, и родственные им (кусочно однородные среды, сосредоточенные факторы) Ответы, указания и решения 5. Подобие краевых задач Ответы, указания и решения § 2. Метод распространяющихся волн (метод Даламбера) Ответы, указания и решения 1. Задачи для бесконечной струны Ответы, указания и решения 2. Задачи для полупрямой Ответы, указания и решения 3. Задачи для бесконечной прямой, составленной из двух однородных полупрямых. Сосредоточенные факторы Ответы, указания и решения 4. Задачи для конечного отрезка Ответы, указания и решения § 3. Метод разделения переменных Ответы, указания и решения 1. Свободные колебания в среде без сопротивления Ответы, указания и решения 2. Свободные колебания в среде с сопротивлением Ответы, указания и решения 3. Вынужденные колебания под действием распределенных и сосредоточенных сил в среде без сопротивления и в среде с сопротивлением Ответы, указания и решения 4. Колебания при неоднородности сред и других условиях, приводящих к уравнениям с переменными коэффициентами; учет сосредоточенных сил и масс Ответы, указания и решения § 4. Метод интегральных представлений Ответы, указания и решения 1. Метод интеграла Фурье Ответы, указания и решения 1*. Переход к конечному интервалу методом отражений Ответы, указания и решения 2. Метод Римана Ответы, указания и решения Глава III. Уравнения параболического типа § 1. Физические задачи, приводящие к уравнениям параболического типа; постановка краевых задач Ответы, указания и решения 1. Однородные среды; уравнения с постоянными коэффициентами Ответы, указания и решения 2. Неоднородные среды, сосредоточенные факторы; уравнения с переменными коэффициентами и условия сопряжения Ответы, указания и решения 3. Подобие краевых задач Ответы, указания и решения § 2. Метод разделения переменных Ответы, указания и решения 1. Однородные изотропные среды. Уравнения с постоянными коэффициентами Ответы, указания и решения а) Задачи теплопроводности с постоянными граничными условиями и свободными членами Ответы, указания и решения б) Задачи теплопроводности с переменными граничными условиями и свободными членами, зависящими от x и t Ответы, указания и решения в) Задачи диффузии Ответы, указания и решения г) Задачи электродинамики Ответы, указания и решения 2. Неоднородные среды и сосредоточенные факторы. Уравнения с переменными коэффициентами и условия сопряжения Ответы, указания и решения § 3. Метод интегральных представлений и функции источников Ответы, указания и решения 1. Однородные изотропные среды. Применение интегрального преобразования Фурье к задачам на прямой и полупрямой Ответы, указания и решения 2. Однородные изотропные среды. Построение функций влияния сосредоточенных источников Ответы, указания и решения а) Неограниченная прямая Ответы, указания и решения б) Полупрямая Ответы, указания и решения в) Конечный отрезок Ответы, указания и решения 3. Неоднородные среды и сосредоточенные факторы; уравнения с кусочно постоянными коэффициентами и условия сопряжения Ответы, указания и решения Глава IV. Уравнения эллиптического типа § 1. Физические задачи, приводящие к уравнениям эллиптического типа, и постановка краевых задач Ответы, указания и решения 1. Краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона в однородной среде Ответы, указания и решения 2. Краевые задачи для уравнения Лапласа в неоднородных средах Ответы, указания и решения § 2. Простейшие задачи для уравнений Лапласа и Пуассона Ответы, указания и решения 1. Краевые задачи для уравнения Лапласа Ответы, указания и решения 2. Краевые задачи для уравнения Пуассона Ответы, указания и решения § 3. Функция источника Ответы, указания и решения 1. Функция источника для областей с плоскими границами Ответы, указания и решения 2. Функция источника для областей со сферическими (круговыми) и плоскими границами Ответы, указания и решения 3. Функция источника в неоднородных средах Ответы, указания и решения § 4. Метод разделения переменных Ответы, указания и решения 1. Краевые задачи для круга, кольца и сектора Ответы, указания и решения 2. Краевые задачи для полосы, прямоугольника, плоского слоя и параллелепипеда Ответы, указания и решения 3. Задачи, требующие применения цилиндрических функций Ответы, указания и решения 4. Задачи, требующие применения сферических и цилиндрических функций Ответы, указания и решения § 5. Потенциалы и их применение Ответы, указания и решения Глава V. Уравнения параболического типа § 1. Физические задачи, приводящие к уравнениям параболического типа; постановка краевых задач Ответы, указания и решения § 2. Метод разделения переменных Ответы, указания и решения 1. Краевые задачи, не требующие применения специальных функций Ответы, указания и решения а) Однородные среды Ответы, указания и решения б) Неоднородные среды; сосредоточенные факторы Ответы, указания и решения 2. Краевые задачи, требующие применения специальных функций Ответы, указания и решения а) Однородные среды Ответы, указания и решения б) Неоднородные среды; сосредоточенные факторы Ответы, указания и решения § 3. Метод интегральных представлений Ответы, указания и решения 1. Применение интеграла Фурье Ответы, указания и решения 2. Построение и применение функций влияния мгновенных точечных источников тепла Ответы, указания и решения Глава VI. Уравнения гиперболического типа § 1. Физические задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа; постановка краевых задач Ответы, указания и решения § 2. Простейшие задачи; различные приемы решения Ответы, указания и решения § 3. Метод разделения переменных Ответы, указания и решения 1. Краевые задачи, не требующие применения специальных функций Ответы, указания и решения а) Однородные среды Ответы, указания и решения б) Неоднородные среды Ответы, указания и решения 2. Краевые задачи, требующие применения специальных функций Ответы, указания и решения а) Однородные среды Ответы, указания и решения б) Неоднородные среды Ответы, указания и решения § 4. Метод интегральных представлений Ответы, указания и решения 1. Применение интеграла Фурье Ответы, указания и решения а) Преобразование Фурье Ответы, указания и решения б) Преобразование Фурье-Бесселя (Ханкеля) Ответы, указания и решения 2. Построение и применение функций влияния сосредоточенных источников Ответы, указания и решения а) Функции влияния мгновенных сосредоточенных импульсов Ответы, указания и решения б) Функции влияния непрерывно действующих сосредоточенных источников Ответы, указания и решения Глава VII. Уравнения эллиптического типа Δu+cu=-f § 1. Задачи для уравнения Δu-x²u=-f Ответы, указания и решения § 2. Некоторые задачи о собственных колебаниях Ответы, указания и решения 1. Собственные колебания струн и стержней Ответы, указания и решения 2. Собственные колебания объемов Ответы, указания и решения § 3. Распространение и излучение звука Ответы, указания и решения 1. Точечный источник Ответы, указания и решения 2. Излучение мембран, цилиндров и сфер Ответы, указания и решения 3. Дифракция на цилиндре и сфере Ответы, указания и решения § 4. Установившиеся электромагнитные колебания Ответы, указания и решения 1. Уравнения Максвелла. Потенциалы. Векторные формулы Грина-Остроградского Ответы, указания и решения 2. Распространение электромагнитных волн и колебания в резонаторах Ответы, указания и решения 3. Излучение электромагнитных волн Ответы, указания и решения 4. Антенна на плоской земле Ответы, указания и решения Ответы, указания и решения Дополнение I. Различные ортогональные системы координат 1. Прямоугольные координаты 2. Цилиндрические координаты 3. Сферические координаты 4. Эллиптические координаты 5. Параболические координаты 6. Эллипсоидальные координаты 7. Вырожденные эллипсоидальные координаты 8. Тороидальные координаты 9. Биполярные координаты 10. Сфероидальные координаты 11. Параболоидные координаты II. Некоторые формулы векторного анализа III. Специальные функции 1. Тригонометрические функции 2. Гиперболические функции 3. Интеграл ошибок 4. Гамма-функции 5. Эллиптические функции 6. Функции Бесселя 7. Полиномы Лежандра 8. Гипергеометрическая функция F(α,β,γ) IV. Таблицы Список литературы