Курс математического анализа: Учеб. для студентов вузов, обучающихся по направлению 510100 "Математика" и специальности 010100 "Математика"

Description

Предисловие ЧАСТЬ I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО Глава 1. Основные понятия математического анализа §1. Некоторые понятия теории множеств и математической логики §2. Понятия отображения функции §3. Счетные и несчетные множества Глава 2. Поле действительных чисел §1. Поле, упорядоченное поле, полное упорядоченное поле §2. Принципы полноты поля R §3. Мощности множеств Q и R Глава 3. Теория пределов §1. Топология числовой прямой §2. Понятие предела функции в точке §3. Теоремы о пределах функций и последовательностей §4. Признаки существования предела функции в точке и предела числовой последовательности §5. Предел по Коши и предел по Гейне функции в точке §6. Дополнения к принципам полноты поля R §7. Критерии существования предела последовательности, предела функции в точке §8. Сравнение асимптотического поведения функций §9. Предел числовой функции по базе Глава 4. Непрерывные функции §1. Непрерывность функции п точке. Точки разрыва функции §2. Локальные свойства функций, непрерывных в точке §3. Глобальные свойства числовых непрерывных функций §4. Элементарные функции и их непрерывность Глава 5. Дифференцируемые функции (одной переменной) §1. Дифференцируемость функции в точке §2. Производная функции в точке §3. Касательная к графику функции §4. Правила дифференцирования §5. Производные элементарных функций §6. Производные и дифференциалы высших порядков §7. Теоремы о конечных приращениях §8. Правила Лопиталя раскрытия неопределенностей §9. Свойства производных дифференцируемых функций §10. Формула Тейлора Глава 6. Исследование функций с помощью производных §1. Условия монотонности функции §2. Экстремумы функции §3. Направление выпуклости §4. Условия постоянства функции. Первообразные функции §5. Центр кривизны, радиус кривизны и кривизна графика функции Литература ЧАСТЬ II. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО Глава 1. Неопределенный интеграл §1. Неопределенный интеграл §2. Основные свойства неопределенного интеграла §3. Таблица основных неопределенных интегралов Глава 2. Определенный интеграл Римана §1. Определение интеграла Римана §2. Суммы Дарбу и критерий Дарбу интегрируемости по Риману §3. Множества из R меры нуль и длины нуль §4. Критерий Лебега интегрируемости по Риману §5. Классы функций, интегрируемых по Риману §6. Свойства интеграла Римана §7. Понятие о мере множеств. Длина числового множества как мера. Площадь криволинейной трапеции §8. Замечания о некоторых геометрических и механических приложениях определенного интеграла Римана §9. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме ЧАСТЬ III. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Глава 1. Непрерывные отображения из Rⁿ в Rᵐ §1. Линейные, евклидовые, нормированные и метрические пространства §2. Дифференцирование и интегрирование (векторных) функций одного действительного переменного §3. Векторные функции ограниченной вариации §4. Пути и кривые в Rⁿ §5. Длина кривой в Rⁿ §6. Касательная к кривой в Rⁿ §7. Топология метрического пространства §8. Пределы в метрическом пространстве §9. Непрерывные отображения в метрических пространствах §10. Компактность в метрических пространствах §11. Связность в метрических пространствах §13. Сжимающие отображения в метрических пространствах Глава 2. Дифференцируемые отображения из Rⁿ в Rᵐ §1. Частные производные функций многих переменных §2. Некоторые сведения из линейной алгебры §3. Понятие дифференцируемости отображения из Rⁿ в Rᵐ §4. Теорема о производной сложной функции и ее следствия §5. Теорема о среднем для отображений из Rⁿ в Rᵐ §6. Формула Тейлора для (векторных) функций §7. Локальный экстремумы числовой функции многих переменных §8. Обратные функции §9. Неявные функции §10. Условный экстремум функции многих переменных §11. Зависимые функции §12. Разбиение единицы Литература