Математика: уравнения и неравенства: учебное пособие

Description

М34 Рецензенты: кафедра математического моделирования Воронежского государственного университета (зав. кафедрой д-р физ.-мат.наук, профессор В. А. Костин); Некрасова, Н. Н. Математика: уравнения и неравенства: учебное пособие / Н. Н. Некрасова, В. В. Горяйнов, А. С. Чесноков, С. С. Сумера; ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет». – Воронеж: Изд-во ВГТУ, 2019. – 101 с. М34 ISBN 978-5-7731-0774-3 ОГЛАВЛЕНИЕ 4. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ 4.1. Свойства и графики показательной и логарифмической функций В практике часто используются функции вида и т. д., где аргумент является показателем степени, а основанием степени ‒ заданное число. Определение. Функция, заданная формулой ( ), называется показательной функцией с основанием Показательную функцию также называют экспонентой по основанию a. Сформулируем основные свойства показательной функции: 1º. Область определения функции множество всех действительных чисел. 2º. Область значений функции множество всех положительных действительных чисел: . 3º. При функция возрастает на всей числовой прямой, т.е. если то при функция убывает на множестве , т.е. если то . 4º. Если то . 5º. Производная функции: Выпишем основные характеристические свойства показательной функции : 1º. ; 2º. ; 3º. . А также часто используемые на практике свойства степеней 4º. ; 5º. ; 6º. ; 7º. ; 8º. . График любой показательной функции проходит через точку На рис. 4.1,а представлен график показательной функции для случая и при график функции изображен на рис. 4.1,б. Сформулируем основные свойства логарифмической функции: 1º. Область определения функции множество всех положительных действительных чисел. 2º. Область значений функции множество всех действительных чисел. 3º. При функция возрастает на всей области определения, т.е. если то ; при функция убывает, т.е. если то 4º. Если то 7º. Производная функции: б) Рис. 4.1. Графическое изображение показательной функции: а) при , б) при График любой логарифмической функции проходит через точку На рис. 4.2, а изображен график логарифмической функции для случая , а для случая график представлен на рис. 4.2, б. а) б) Рис. 4.2. Графическое изображение логарифмической функции: а) при , б) при а) б) Рис. 4.3. Графики показательной и обратной к ней логарифмической функций с одним основанием: а) при , б) при 4.2. Определение логарифма и его свойства Определение. Логарифмом от числа по данному основанию называется показатель степени , в который надо возвести основание , чтобы получить заданное (логарифмируемое) число . Логарифм обозначается так: где основание логарифма, заданное (логарифмируемое) число Из определения логарифма можно записать показательное уравнение Заметим, что каждая из функций является обратной по отношению к другой. Логарифмы чисел по основанию 10 принято обозначать, и называют десятичными логарифмами. А логарифмы чисел по основанию , где принято обозначать их называют натуральными логарифмами. Таким образом, Пример. Записать с помощью знака логарифма: а) б) Решение. а) Т.к. основание степени есть 5, показатель степени (логарифм) равен 2, а степень равна 25, то . б) Основание степени есть 8, показатель степени (логарифм) равен , а степень равна , то . Пример. Найти логарифмы данных чисел по известным основаниям: Решение. а) здесь нужно найти такой показатель степени , что . Решая это уравнение, получаем откуда . Итак, б) из уравнения находим, то есть . Значит, в) в данном случае имеем уравнение . Это возможно только при условии, что откуда Пример. Определить по заданным условиям: Решение. а) по определению логарифма, запишем откуда б) согласно определению логарифма получаем уравнение Так как и то оно примет вид Возведем обе части последнего равенства в квадрат: Свойства логарифмов 1º. Логарифм единицы равен нулю: 2º. Логарифм основания равен единице: 3º. Основное логарифмическое тождество: 4º. Формула для логарифма произведения: 5º. Формула для логарифма частного: 6º. Формула для логарифма степени: . 7º. 8º. Формула перехода к новому основанию: 9º. 4.3. Тождественные преобразования показательных и логарифмических выражений Преобразование показательных и логарифмических выражений основаны на применении основных свойств соответствующих функций, показателя степени и свойств логарифмов. Пример. Вычислить: . Решение. Используя свойства степеней и основные логарифмические тождества, получим Пример. Вычислить: Решение. Используя свойства логарифмов (3º, 9º), получим Пример. Вычислить: Решение. По свойствам логарифмов (6º, 1º) можно записать так . Тогда получим Пример. Вычислить , если Решение. Используя свойство 7º логарифмов, получим Пусть тогда . Далее имеем По условию тогда получим уравнение тогда Часто приходится логарифмировать обе части данного выражения или, напротив, потенцировать. Логарифмирование – это преобразование, при котором логарифм выражения с переменными приводится к сумме или разности логарифмов переменных. Потенцирование – это... Пример. Дано . Найти Решение. Логарифмируя обе части равенства, получим Пример. Найти по данному его логарифму: , Решение. Воспользовавшись свойствами логарифмов и потенцируя обе части равенства, получим 4.4. Показательные уравнения и неравенства Показательными уравнениями (неравенствами) называются уравнения (неравенства), в которых неизвестное входит в показатель степени. Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения вида где . Тогда в силу строгой монотонности показательной функции . Показательными неравенствами называют неравенства вида где . При показательная функция строго возрастает и будет при наоборот . Решение показательных уравнений и неравенств основано на свойствах и монотонности показательной функции. Пример. Решить уравнение Решение. Используя свойства степеней, приведем левую и правую части уравнения к одному основанию. откуда Поскольку функция монотонна и каждое свое значение принимает ровно один раз, то последнее уравнение равносильно уравнению из которого находим Ответ: Пример. Решить уравнение Решение. Вынесем за скобку – степень с наименьшим показателем. откуда или Ответ: Пример. Решить уравнение Решение. В левой части уравнения вынесем за скобку , а в правой части вынесем за скобки . Поделим обе части последнего уравнения на , получим или откуда, логарифмируя обе части уравнения по основанию (можно по любому положительному основанию), получим Ответ: Пример. Решить уравнение Решение. Используя свойства степеней, преобразуем исходное уравнение виду Полученное уравнение удобнее всего решать, введя новую переменную Тогда уравнение сводится к квадратному относительно новой переменной решая которое находим . Корень не удовлетворяет условию , поэтому единственное решение исходного уравнения определяется из соотношения Ответ: Пример. Решить уравнение Решение. Запишем исходное уравнение в виде Это однородное уравнение второй степени. Разделим обе части уравнения на , получим Введем новую переменную придем к квадратному уравнению решив которое, найдем . Второй корень не удовлетворяет условию . Возвращаясь к исходной переменной, получим уравнение откуда Ответ: Пример. Решить неравенство Решение: Так как то данное неравенство примет вид . Так как основание то последнее неравенство равносильно неравенству Откуда Ответ: Пример. Решить неравенство Решение: Так как , то данное неравенство равносильно неравенству Решая последнее неравенство методом интервалов, получим Ответ: 4.5. Логарифмические уравнения и неравенства 4.4. Вычислить: 4.5. Упростить выражение: В целом пособие ориентировано на адаптационный этап преподавания математики на русском языке как иностранном и позволит иностранным учащимся разобраться с основными понятиями элементарной математики на русском языке, сформировать и развить навыки устн...