Математические методы естественных наук. Дополнительные главы прикладных методов анализа. 1-й семестр 2014/2015 гг.

Description

1 Содержание 1. Лекция 1. Асимптотические методы 2 1.1. Постановка задачи 2 1.2. Подход Пуанкаре 2 1.3. Приближенное нахождение нулей трансцендентных уравнений 4 1.4. Оценка интеграла интегрированием по частям 4 2. Лекция 2. Интегралы Лапласа 6 2.1. Вариации определения Пуанкаре 6 2.2. Асимптотика интеграла Лапласа 6 2.3. Интегралы гауссова типа 8 2.4. Метод перевала. Вещественная версия 8 2.5. Формула Стирлинга 9 3. Лекция 3. Асимптотики интегралов Фурье 10 3.1. Осциллирующие интегралы 10 3.2. Метод стационарной фазы 12 4. Лекция 4 14 4.1. Метод перевала (комплексная версия) 14 5. Лекция 5 16 5.1. Формула Эйлера–Маклорена 16 5.2. Применения формулы Эйлера–Маклорена 18 5.3. Ряд Стирлинга для ln Γ(z) 19 6. Лекция 6 21 6.1. Теорема Хана–Банаха 21 7. Лекция 7 24 7.1. Теорема Хана–Банаха, комплексный случай 24 7.2. Структура обобщенных функций медленного роста 24 7.3. Обобщенные функции нескольких переменных 25 7.4. Примеры 25 8. Лекция 8 27 8.1. Обобщенная функция rλ 27 9. Лекция 9 29 9.1. Фундаментальное решение оператора Лапласа в размерности 2 29 9.2. Преобразование Фурье функции rλ 29 10. Лекция 10 31 10.1. Характеристические функции и формулы Грина 31 10.2. Потенциалы простого и двойного слоя 31 10.3. Гармонические функции и задачи Дирихле и Неймана 32 11. Лекция 11 35 11.1. Уравнение скалярного поля с источником 35 11.2. Запаздывающая функция Грина 36 11.3. Опережающая функция Грина 36 11.4. Причинная функция Грина 37 11.5. Запаздывающий потенциал 37 12. Лекция 12 38 12.1. Интегральные уравнения Вольтерра и Фредгольма 38 12.2. Интегральные уравнения с вырожденными ядрами 40 12.3. Уравнения Вольтерра. 41 12.4. Теорема Гильберта–Шмидта. 41