Yanqi Lake Lectures on Algebra

Description

Foreword......Page 10 Backgrounds......Page 12 Fields......Page 14 Algebraicity......Page 15 The algebraic closure......Page 18 Splitting fields and normality......Page 20 Separability......Page 22 Purely inseparable extensions......Page 25 The primitive element theorem......Page 26 Galois extensions and Galois groups......Page 27 Infinite Galois extensions......Page 34 Linear independence of characters......Page 36 Norm and trace......Page 37 Finite fields......Page 39 Abstract Kummer theory......Page 41 Cyclotomic polynomials......Page 45 Review: rings and ideals......Page 48 Modules: basic definitions......Page 49 Direct sums and free modules......Page 51 Exact sequences......Page 53 Chain conditions......Page 54 Hilbert basis theorem......Page 57 Categories at a glance......Page 58 Functors and natural transformations......Page 59 Balanced products and tensor products......Page 61 Functorial properties of tensor products......Page 63 Algebras......Page 65 Simple and semisimple modules......Page 70 Schreier's refinement theorem......Page 73 Jordan-Hölder theorem......Page 76 Direct sum decompositions......Page 77 Krull-Remak-Schmidt theorem......Page 79 Wedderburn-Artin theory for semisimple rings......Page 82 Double centralizer property......Page 87 Another approach to the Wedderburn-Artin Theorem......Page 88 Jacobson radicals......Page 89 Semiprimitivity versus semisimplicity......Page 92 Intermezzo: der Nullstellensatz......Page 94 Primitive rings and primitive ideals......Page 95 Density theorems......Page 96 Structure theory for primitive rings......Page 97 Finite-dimensional algebras: Burnside's Theorem......Page 99 Basic properties of central simple algebras......Page 102 Splitting fields......Page 107 Brauer groups......Page 109 Rational structure on vector spaces......Page 111 Reduced norms and reduced traces......Page 112 Example: quaternion algebras......Page 114 Review of categorical nonsense......Page 118 Morita contexts......Page 121 Progenerators......Page 123 Main theorems......Page 126 Applications......Page 129 Representation of algebras......Page 132 Characters......Page 135 The group algebra......Page 136 Representations and characters of finite groups......Page 140 Change of rings......Page 146 Induced representations......Page 148 Mackey's criterion......Page 150 Induced characters......Page 152 An application: supersolvable groups......Page 153 Review: the symmetric groups......Page 156 Young diagrams, tableaux and tabloids......Page 157 Specht modules......Page 159 Representations of Sn......Page 161 Odds and ends......Page 163 Group-theoretic backgrounds......Page 166 Representation-theoretic backgrounds......Page 167 Brauer's theorem......Page 168 Applications......Page 171 Bibliography......Page 174 Index......Page 178