Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления

Description

В пособии изложены основы теории обыкновенных дифферен- циальных уравнений, уравнений в частных производных первого порядка и вариационного исчисления. Наряду с изложением тради- ционных разделов курса обыкновенных дифференциальных урав- нений, в книге рассмотрены и некоторые нетрадиционные вопросы (граничные задачи, уравнения с малым параметром, нелинейные уравнения в частных производных первого порядка, вариационная задача Больца и др.). Многочисленные примеры иллюстрируют рассматриваемые тео- ретические положения. Оглавление Предисловие Некоторые обозначения Введение 1. Методы решения некоторых дифференциальных уравнений § 1. Основные понятия для дифференциальных уравнений первого порядка § 2. Методы решения простейших дифференциальных уравнений первого порядка § 3. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной. Метод введения параметра и задача Коши § 4. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Общие понятия и методы решения 2. Линейные дифференциальные уравнения порядка n с постоянными коэффициентами § 1. Дифференциальные многочлены и общий метод решения линейных уравнений с постоянными коэффициентами § 2. Линейные однородные уравнения порядка n с постоянными коэффициентами § 3. Линейные неоднородные уравнения порядка n с постоянными коэффициентами 3. Методы решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами § 1. Нормальные линейные системы с постоянными коэффициентами. Общие понятия и метод исключения § 2. Общее решение нормальной линейной однородной системы с постоянными коэффициентами § 3. Общее решение нормальной линейной неоднородной системы с постоянными коэффициентами § 4. Решение нормальных линейных систем с постоянными коэффициентами с помощью матричной экспоненты § 5. Преобразование Лапласа и его применение для решения дифференциальных уравнений § 6. Методы решения произвольных линейных систем с постоянными коэффициентами 4. Исследование задачи Коши § 1. Вспомогательные предложения § 2. Существование и единственность решения задачи Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений § 3. Непродолжимое решение задачи Коши § 4. Общее решение дифференциального уравнения § 5. Зависимость решения задачи Коши от параметров и начальных данных. Корректность задачи Коши § 6. Разрешимость задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка, не разрешенного относительно производной. Особые решения 5. Нормальные линейные системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами § 1. Исследование задачи Коши для нормальной линейной системы уравнений с переменными коэффициентами § 2. Линейные однородные системы § 3. Линейные неоднородные системы 6. Линейные дифференциальные уравнения порядка n с переменными коэффициентами § 1. Общие свойства § 2. Линейные однородные уравнения порядка n § 3. Линейные неоднородные уравнения порядка n § 4. Граничные задачи § 5. Теорема Штурма § 6. Решение линейных дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов. Уравнение Бесселя § 7. Линейные дифференциальные уравнения с малым параметром при старшей производной 7. Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений и теория устойчивости § 1. Общие свойства § 2. Классификация положений равновесия линейной однородной системы второго порядка § 3. Нелинейные автономные системы второго порядка § 4. Устойчивость по Ляпунову положений равновесия § 5. Первые интегралы 8. Дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка Введение § 1. Линейные однородные уравнения § 2. Квазилинейные уравнения § 3. Нелинейные уравнения 9. Основы вариационного исчисления Введение § 1. Простейшая вариационная задача § 2. Обобщения простейшей вариационной задачи на случай функционалов более общего интегрального типа § 3. Вариационные задачи со свободным концом, с подвижной границей и задача Больца § 4. О сильном локальном экстремуме и абсолютном экстремуме функционалов § 5. Изопериметрическая задача § 6. Задача Лагранжа § 7. Достаточные условия слабого локального экстремума Литература Предметный указатель