Algebraic Number Theory and Fermat’s Last Theorem [4th ed.]

Description

Contents......Page 3 Preface......Page 7 Notation......Page 13 Origins of Algebraic Number Theory......Page 16 Algebraic Methods......Page 23 Algebraic Background......Page 24 Rings and Fields......Page 25 Factorization of Polynomials......Page 28 Field Extensions......Page 35 Symmetric Polynomials......Page 37 Modules......Page 39 Free Abelian Groups......Page 41 Exercises......Page 46 Algebraic Numbers......Page 49 Algebraic Numbers......Page 50 Conjugates and Discriminants......Page 52 Algebraic Integers......Page 55 Integral Bases......Page 59 Norms and Traces......Page 62 Rings of Integers......Page 65 Exercises......Page 71 Quadratic Fields......Page 74 Cyclotomic Fields......Page 77 Exercises......Page 82 Factorization into Irreducibles......Page 85 Historical Background......Page 87 Trivial Factorizations......Page 88 Factorization into Irreducibles......Page 91 Examples of Non-Unique Factorization into Irreducibles......Page 94 Prime Factorization......Page 98 Euclidean Domains......Page 102 Euclidean Quadratic Fields......Page 103 Consequences of Unique Factorization......Page 106 The Ramanujan-Nagell Theorem......Page 108 Exercises......Page 110 Ideals......Page 113 Historical Background......Page 114 Prime Factorization of Ideals......Page 117 The Norm of an Ideal......Page 126 Non-Unique Factorization in Cyclotomic Fields......Page 134 Exercises......Page 136 Geometric Methods......Page 138 Unknown......Page 0 Lattices......Page 139 The Quotient Torus......Page 142 Exercises......Page 146 Minkowski’s Theorem......Page 147 The Two-Squares Theorem......Page 150 The Four-Squares Theorem......Page 151 Exercises......Page 152 The Space......Page 153 Exercises......Page 158 Class-Group and Class-Number......Page 159 The Class-Group......Page 160 An Existence Theorem......Page 161 Finiteness of the Class-Group......Page 165 How to Make an Ideal Principal......Page 166 Unique Factorization of Elements in an Extension Ring......Page 169 Exercises......Page 172 Number-Theoretic Applications......Page 174 Factorization of a Rational Prime......Page 175 Minkowski Constants......Page 178 Some Class-Number Calculations......Page 182 Table of Class-Numbers......Page 185 Exercises......Page 186 Some History......Page 188 Elementary Considerations......Page 191 Kummer’s Lemma......Page 193 Kummer’s Theorem......Page 198 Regular Primes......Page 201 Exercises......Page 202 The Wolfskehl Prize......Page 205 Other Directions......Page 207 Modular Functions and Elliptic Curves......Page 209 Weil Conjecture......Page 210 Frey’s Elliptic Equation......Page 211 The Amateur who Became a Model Professional......Page 212 Flash of Inspiration......Page 215 Exercises......Page 217 Elliptic Curves......Page 218 Review of Conics......Page 219 Projective Space......Page 220 Rational Conics and the Pythagorean Equation......Page 225 Elliptic Curves......Page 227 The Tangent/Secant Process......Page 230 Group Structure on an Elliptic Curve......Page 231 Applications to Diophantine Equations......Page 235 Exercises......Page 237 Trigonometry Meets Diophantus......Page 238 Elliptic Functions......Page 246 Legendre and Weierstrass......Page 252 Modular Functions......Page 254 Exercises......Page 259 The Frey Elliptic Curve......Page 261 Weil Conjecture......Page 263 Sketch Proof of Fermat’s Last Theorem......Page 266 Recent Developments......Page 268 Exercises......Page 278 Quadratic Residues......Page 280 A.1 Quadratic Equations in......Page 281 A.2 The Units of......Page 283 A.3 Quadratic Residues......Page 288 A.4 Exercises......Page 297 B.1 Introduction......Page 299 B.2 Logarithmic Space......Page 300 B.3 Embedding the Unit Group in Logarithmic Space......Page 301 B.4 Dirichlet’s Theorem......Page 302 B.5 Exercises......Page 307 Biblio......Page 308