Parciális differenciálegyenletek

Description

Előszó......Page 11 I. Fejezetek a klasszikus analízisből......Page 13 Topológia Rn-ben......Page 15 Lebesgue-integrál, Lp terek......Page 19 Paraméteres integrálok......Page 22 Multiindexek......Page 25 A kompakt tartójú sima függvények tere......Page 26 Az egységapproximáció alkalmazása......Page 28 Az egységosztás tétele......Page 34 II. Másodrendűlineárisparciálisdifferenciálegyenletek......Page 37 Motiváció......Page 39 Parciális differenciálegyenlet fogalma......Page 40 Parciális differenciálegyenletek főbb típusai......Page 41 Mellékfeltételek, korrekt kitűzésű feladatok......Page 42 Integrálható egyenletek......Page 44 Közönséges differenciálegyenletre visszavezethető egyenletek......Page 45 Új változók bevezetésével megoldható egyenletek......Page 46 Elsőrendű lineáris egyenletek......Page 48 Feladatok......Page 51 Motiváció......Page 55 A hővezetés matematikai leírása......Page 56 Hővezetés egy dimenzióban......Page 57 Hővezetés két és magasabb dimenzióban......Page 61 Stacionárius hővezetés......Page 64 A hővezetési egyenlet Einstein-féle levezetése......Page 66 Az egydimenziós hullámegyenlet......Page 68 Hullámegyenlet két és magasabb dimenzióban......Page 73 Lineáris egyenletek......Page 75 Nemlineáris egyenletek......Page 77 Egyenletrendszerek......Page 78 Feladatok......Page 79 Az egyenletek osztályozása......Page 83 Az egyenletek kanonikus alakja......Page 86 Feladatok......Page 95 Előkészületek......Page 97 Fizikai háttér......Page 98 Green-formulák......Page 99 Radiális megoldások......Page 102 Alapmegoldás és Newton-potenciál......Page 105 A klasszikus feladatok kitűzése......Page 110 A megoldás egyértelműsége......Page 112 Dirichlet-elv......Page 116 Klasszikus sajátérték-feladatok......Page 119 A klasszikus sajátérték-feladatok kitűzése......Page 120 Sajátértékek, a változók szétválasztásának módszere......Page 122 Fourier-módszer......Page 126 Maximum- és minimumelvek......Page 130 A Dirichlet-feladat megoldásának egyértelműsége......Page 134 Harmonikus függvények további tulajdonságai......Page 135 Green harmadik formulája......Page 139 A Green-függvény értelmezése és tulajdonságai......Page 141 Poisson-formula gömbön......Page 145 További példák Green-függvényekre......Page 151 Feladatok......Page 154 Fizikai motiváció......Page 159 Hasonlósági megoldások......Page 160 Alapmegoldás......Page 163 A klasszikus Cauchy-feladatok kitűzése......Page 165 A homogén egyenlet megoldása......Page 166 Duhamel-elv és az inhomogén egyenlet......Page 170 Egyértelműség......Page 172 Tyihonov példája......Page 176 Vegyes feladatok......Page 178 Maximum- és minimumelvek......Page 179 Egyértelműség......Page 181 Fourier-módszer......Page 185 Feladatok......Page 188 III. Disztribúcióelmélet......Page 189 Motiváció......Page 191 A disztribúció fogalma......Page 194 Példák......Page 197 Algebrai műveletek......Page 200 Disztribúció tartója......Page 201 Disztribúció deriváltja......Page 203 A direkt szorzat definíciója......Page 210 Műveleti tulajdonságok......Page 213 Függvények konvolúciója......Page 215 Disztribúciók konvolúciója: definíció, példák......Page 218 Műveleti tulajdonságok......Page 223 Alapmegoldások......Page 226 Példák alapmegoldásra......Page 227 Feladatok......Page 235 Általánosított Cauchy-feladatok hiperbolikus egyenletekre......Page 241 Az általánosított Cauchy-feladat......Page 242 A klasszikus Cauchy-feladat......Page 246 Feladatok......Page 251 Általánosított Cauchy-feladatok parabolikus egyenletekre......Page 253 Az általánosított Cauchy-feladat......Page 254 A klasszikus Cauchy-feladat......Page 257 Feladatok......Page 260 IV. Szoboljev-terek......Page 261 Szoboljev-terek......Page 263 A H1RN tér......Page 264 A H1Omega terek......Page 268 A H10Omega tér......Page 273 A H2Omega tér......Page 274 A H1Omega' és H(-1)Omega duális terek......Page 276 Feladatok......Page 278 Dirichlet-feladat I......Page 283 Dirichlet-feladat II......Page 285 Neumann-feladat I......Page 287 Neumann-feladat II......Page 288 A Laplace-operátor spektráltétele......Page 290 Feladatok......Page 292 Evolúciós problémák......Page 295 Hővezetési egyenlet......Page 296 Hullámegyenlet......Page 298 Megoldások a 9. fejezet feladataihoz......Page 303 Megoldások a 10. fejezet feladataihoz......Page 328 Megoldások a 11. fejezet feladataihoz......Page 333 Útmutatások a 12. fejezet feladataihoz......Page 336 Útmutatások a 13. fejezet feladataihoz......Page 338 Irodalomjegyzék......Page 341 Tárgymutató......Page 348 Névmutató......Page 0