О статистике дробных долей чисел jα

Description

Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. 2013. № 5. 16 с.Пусть α - иррациональное число. При n из N рассматриваются множества точек αj= j α (mod 1) = βk(j), j=0,.,n. Точки βk разбивают отрезок [0,1] на n+1 отрезков [βk,βk+1] длиной δk= βk+1-βk. В работе с помощью аппарата цепных дробей исследуется связь хронологического индекса j и порядкового индекса k(j)=k(j,n) чисел αj=βk(j), для чего вводятся графы левых и правых предшественников точки αj. Вычислены статистики длин δk=δk(n+1), которые сравниваются со статистиками распределения длин интервалов, на которые отрезок [0,1] делят точки (n+1)-кратной реализации равномерно распределенной случайной величины. Средние значения сравниваемых статистик совпадают, а отношения дисперсий при больших n может быть сколь велико, так же как и сколь угодно мало.Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований, грант 11-01-00023а, и программой фундаментальных исследований ОМН РАН "Современные проблемы теоретической математики".Содержание: "Левые" и "правые" подходящие и промежуточные дроби Обмотка окружности. Графы левых и правых предшественников точки Статистика интервалов между точками множества B(n)