Тригонометрические ряды в 2тт.

Description

Первое издание книги А. Зигмунда «Тригонометрические ряды» вышло в 1935 году и было переведено на русский язык (ГОНТИ, 1939). Книга оказала существенное влияние на развитие теории рядов и до сих пор пользуется широкой популярностью у советских математиков В 1959 году книга Зигмунда вышла в новой редакции Автор включил в нее много материала, который до того времени был опубликован лишь в периодической печати. В результате книга разрослась до двух томов. Первый том по кругу рассмотренных в нем вопросов близок к первому изданию книги, однако во многих местах сделаны существенные дополнения, а некоторые доказательства заменены более прозрачными; часть материала перенесена во второй том. Второй том настоящего издания в основном содержит новый материал. В нем последовательно излагаются применение обобщенных производных и обобщенных интегралов к тригонометрическим рядам, новые результаты об интерполировании линейных операторов и другие актуальные вопросы Настоящая книга А. Зигмунда и известная монография Н. К. Бари «Тригонометрические ряды» взаимно дополняют друга друга и, вместе взятые, могут быть рекомендованы студентам-математикам старших курсов и аспирантам различных специальностей как энциклопедия методов и фактов теории тригонометрических рядов. Книга может служить пособием для специальных курсов по тригонометрическим рядам и другим разделам теории функций Том 1 Предисловие к русскому изданию Предисловие ГЛАВА I ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ И РЯДЫ ФУРЬЕ. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 1. Тригонометрические ряды 2. Преобразование Абеля 3. Ортогональные ряды 4. Тригонометрическая система 5. Ряды Фурье — Стильтьеса 6. Полнота тригонометрической системы 7. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля 8. Замечания о рядах и интегралах 9. Неравенства 10. Выпуклые функции 11. Сходимость в Lr 12. Множества первой и второй категории 13. Перестановки функций. Теоремы о максимуме Харди и Литтлвуда Различные теоремы и примеры ГЛАВА II КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ТЕОРЕМЫ О СХОДИМОСТИ РЯДОВ S [f] И S Ц] 1. Формальные операции над рядом S [f] 2. Дифференцирование и интегрирование S [[] 3. Модули непрерывности. Гладкие функции 4. Порядок убывания коэффициентов Фурье 5. Формулы для частичных сумм рядов S [f] и S [/] 6. Признак Дини и принцип локализации 7. Еще несколько формул для частичных сумм 8. Признак Дирихле — Жордана 9. Явление Гиббса 10. Признак Дини — Липшица 11. Признак Лебега 12. Константы Лебега 13. Формула суммирования Пуассона Различные теоремы и примеры ГЛАВА III СУММИРУЕМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ 1. Суммирование числовых рядов 2. Общие замечания о суммируемости S [/] и S [f] 3. Суммируемость S [/] и S [f] методом средних арифметических 4. Множители сходимости 5. (С, а)-Суммируемость 6. Суммирование методом Абеля 7. Суммирование методом Абеля (продолжение) 8. Суммируемость рядов S [dF] и S [dF] 9. Ряды Фурье в точках разрыва первого рода 10. Синус-ряды Фурье 11. Явление Гиббса для метода (С, а) 12. Теоремы Рогозинского 13. Приближение функций тригонометрическими полиномами Различные теоремы и примеры ГЛАВА IV КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И РЯДЫ ФУРЬЕ 1. Класс L2 2. Теорема Марцинкевича 3. Существование сопряженной функции 4. Классы функций и (С, 1)-средние рядов Фурье' 5. Классы функций и (С, 1)-средние рядов Фурье (продолжение) 6. Классы функций и абелевы средние рядов Фурье 7. Мажоранты абелевых и чезаровских средних рядов Фурье 8. Равенства Парсеваля 9. Линейные операторы 10. Классы L|> 11. Преобразования рядов Фурье Различные теоремы и примеры ГЛАВА V СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ 1. Ряды с коэффициентами, монотонно стремящимися к нулю 2. Порядок роста функций, представляемых рядами с монотонными коэффициентами 3. Об одном классе рядов Фурье — Стильтьеса 4. Ряд 2„^2-Vcn ln Vn* 5. Ряд 2v-$eivaeivx 6. Лакунарные ряды 7. Произведения Рисса 8. Ряды Радемахера и их применения 9. Ряды с «малыми» лакунами 10. Степенные ряды Салема Различные теоремы и примеры ГЛАВА VI АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ 1. Общие ряды 2. Множества типа N 3. Абсолютная сходимость рядов Фурье 4. Неравенства для полипомов 5. Теоремы Винера и Леви 6. Абсолютная сходимость лакунарных рядов Различные теоремы и примеры ГЛАВА VII ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ТЕОРИИ РЯДОВ ФУРЬЕ 1. Существование сопряженной функции 2. Сопряженные ряды и ряды Фурье 3. Применение формулы Грина 4. В-интегрируемость 5. Условия Липшица 6. Сходимость в среднем рядов S [/] и S [/] 7. Классы HP и N 8. Степенные ряды с ограниченным изменением 9. Интеграл Коши 10. Конформные отображения Различные теоремы и примеры ГЛАВА VIII РАСХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ Г. Расходимость рядов Фурье непрерывных функций 2. Дальнейшие примеры расходящихся рядов Фурье 3. Пример ряда Фурье, расходящегося почти всюду 4. Всюду расходящийся ряд Фурье Различные теоремы и примеры ГЛАВА IX РИМАНОВСКАЯ ТЕОРИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ 1. Общие замечания. Теорема Кантора — Лебега 2. Формальное интегрирование рядов 3. Единственность представления тригонометрическими рядами 4. Принцип локализации. Формальное произведение тригонометрических рядов 5. Формальное произведение тригонометрических рядов (продолжение) 6. Множества единственности и множества неединственности 7. Проблема единственности тригонометрических рядов для методов суммирования 8. Проблема единственности тригонометрических рядов для методов суммирования (продолжение) 9. Принцип локализации для рядов с коэффициентами, не стремящимися к нулю Различные теоремы и примеры Примечания Указатель обозначений Предметный указатель Том 2 ГЛАВА X ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ 1. Общие замечания 2. Интерполяционные полиномы как ряды Фурье 3. Случай четного числа фундаментальных точек 4. Коэффициенты Фурье — Лагранжа 5. Сходимость интерполяционных полиномов 6. Полиномы Джексона и связанные с ними вопросы 7. Сходимость в среднем интерполяционных полиномов 8. Расходимость интерполяционных полиномов 9. Расходимость интерполяционных полиномов (продолжение) 10. Полиномы, сопряженные интерполяционным полиномам • # Различные теоремы и примеры ГЛАВА XI ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ РЯДОВ. ОБОБЩЕННЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 1. Чезаровское суммирование продифференцированных рядов 2. Суммируемость С для рядов Фурье 3. Теоремы о продифференцированных рядах 4. Теоремы об обобщенных производных 5. Применение теоремы D.2) к рядам Фурье 6. М-интеграл и ряды Фурье 7. Интеграл М2 Различные теоремы и примеры ГЛАВА XII ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ О КОЭФФИЦИЕНТАХ ФУРЬЕ 1. Теорема Рисса —Торина 2. Теоремы Хаусдорфа — Юнга и Ф. Рисса 3. Интерполирование операторов в классах Hr 4. Теорема Марцинкевича об интерполировании операторов 5. Теоремы Пэли о коэффициентах Фурье 6. Теоремы Харди и Литтлвуда о перестановках коэффициентов Фурье 7. Лакунарные коэффициенты 8. Интегрирование дробного порядка 9. Интегрирование дробного порядка (продолжение) 10. Коэффициенты Фурье — Стильтьеса 11. Коэффициенты Фурье — Стильтьеса и множества с постоянным отношением разбиения Различные теоремы и примеры ГЛАВА XIII СХОДИМОСТЬ И СУММИРУЕМОСТЬ ПОЧТИ ВСЮДУ 1. Частичные суммы ряда S[/] для /; ? L2 2. Порядок Sn для /?Lp 3. Признак сходимости S [/] почти всюду 4. Мажоранты для частичных сумм S [/] и S [/] 5Г Поведение частичных сумм для S [/] и S [/] 6. Теоремы о частичных суммах степенных рядов 7. Сильная суммируемость рядов Фурье. Случай / ? V г > 1 8. Сильное суммирование S [/] и!> [/] в общем случае 9 Почти сходимость S [/] и S [/] 10. Теоремы о сходимости ортогональных рядов 11. Емкость множеств и сходимость рядов Фурье Различные теоремы и примеры ГЛАВА XIV ЕЩЕ О МЕТОДАХ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 1. Граничные значения гармонических и аналитических функций 2. Функция s@) 3. Функция Литтлвуда — Пэли g @) 4. Сходимость сопряженных рядов 5. Функция Марцинкевича (л @) Различные теоремы и примеры ГЛАВА XV ПРИМЕНЕНИЕ К РЯДАМ ФУРЬЕ ФУНКЦИИ ЛИТТЛВУДА — ПЭЛИ 1. Общие замечания 2. Функции из Lr, 1