Introduction à la théorie de jauge

Description

L'idée fondamentale de la théorie de jauge (en mathématiques) est d'étudier les espaces de modules des solutions de certains systèmes d'équations à dérivées partielles sur une variété différentiable et d'obtenir des informations sur la variété (par exemple des informations sur son type de difféomorphisme) à partir de ces espaces de modules. On a obtenu les premiers résultats spectaculaires en topologie différentielle 4-dimensionnelle : itemize on a montré que la forme d'intersection d'une 4-variété différentiable orientée compacte est standard sur Z si cette forme est définie (positivement ou négativement) ce qui, d'après les résultats de Freedman concernant la classification des variétés topologiques, est totalement faux dans le contexte topologique ; on a introduit et calculé explicitement les premiers invariants C^ en dimension 4, à savoir les invariants de Donaldson, à l'aide desquels on a trouvé les premières paires exotiques (paires de 4-variétés différentiables orientées, homéomorphes mais non-difféomorphes). itemize Le but de ce cours spécialisé est de donner une introduction solide à la théorie de jauge et d'en présenter en détail quelques applications importantes en topologie différentielle 4-dimensionnelle, notamment le théorème de Donaldson sur la forme d'intersection d'une 4-variété différentiable et la conjecture de Van de Ven sur la classification topologique-différentiable des surfaces complexes. Cours dédié à la théorie de Seiberg-Witten, qui est accessible aux étudiants, mais il contient aussi des éléments de la théorie de Donaldson : le groupe de jauge d'un fibré principal, les équations de Yang-Mills, les équations d'anti-dualité, des exemples d'espaces de modules de connexions de Yang-Mills.