Mathematik der digitalen Medien

Description

Die Mathematik ist eine trockene abstrakte Angelegenheit, und ein gebildeter Mensch muss sich darin nicht auskennen, behaupten einige Autoren. Weit gefehlt, denn Mathematik lebt! Das Gedankengebäude der Wissenschaft Mathematik sucht in seiner Schönheit und Eleganz seines- gleichen. Vieles, was wir täglich ohne Scheu und Angst be­nutzen, enthält Mathematik, vor der viele Scheu und Angst zeigen. Dies sollte nicht so sein, denn es existieren viele elegante und wunderschöne praktische Konzepte, die das Erlernen von Mathematik von selbst motivieren. Durch dieses Buch sollen die spannenden mathematischen Lösungen von einigen bedeutenden Kon­zepten in alltäglichen Anwendungen der Telekommunikationstechnik und der Informations- theorie einem technisch und mathematisch interessierten Personenkreis zugänglich gemacht werden. Die Darstellung stützt sich auf Beispiele ab, die verdeutlichen, wie nützlich Algebra sein kann, wie durch Zahlentheorie viele Probleme gelöst werden können und dass Wahrscheinlich- keitsrechnung hilfreiche Einsichten geben kann. Der Einsatz der einzelnen Kapitel als Ergänzung für den Mathematikunterricht an Gymnasien wird nicht ausgeschlossen. Als Systeme wurden ausgewählt: das Navigationssys­tem, das Handy, der MP3-Player, der CD-Player, die DVD und das Internet – alles Dinge, mit denen die meisten fast täglich umgehen. Mathematik der digitalen Medien Inhalt 1 Einleitung 2 Das Navigationssystem 2.1 Problemstellung 2.2 Mathematische Grundlagen 2.2.1 Wahrscheinlichkeitsrechnung und binäre Zufallssequenzen 2.2.2 Korrelation 2.2.3 Pseudo-Zufallssequenzen 2.3 Navigation 2.3.1 Satellitensequenzen 2.3.2 Positionsbestimmung 2.4 Datenübertragung 2.5 Verschlüsselung 2.6 Übungsaufgaben 3 Das Handy 3.1 Problemstellung 3.2 Mathematische Grundlagen 3.3 Kanalschätzung mit Trainingssequenzen 3.4 Faltungscodes zur Fehlerkorrektur 3.4.1 Faltungscodierer 3.4.2 Trellis 3.4.3 Viterbi-Algorithmus 3.5 Nutzeridentität 3.6 Internationales Roaming 3.7 Übungsaufgaben 4 Der MP3-Player 4.1 Problemstellung 4.2 Mathematische Grundlagen 4.3 Digitale Signalverarbeitung 4.3.1 Fibonacci-Zahlen 4.3.2 Z-Transformation 4.3.3 Lineare zeitinvariante Systeme 4.4 Übungsaufgaben 5 Der CD-Player 5.1 Problemstellung 5.2 Elementare mathematische Grundlagen 5.2.1 Modulorechnung bei ganzen Zahlen 5.2.2 Primkörper, Galoisfeld GF(p 5.3 Fehlerkorrektur mit Reed-Solomon-Codes GF(7 5.4 Weitere mathematische Grundlagen 5.4.1 Diskrete Fourier-Transformation (DFT 5.4.2 Euklidischer Algorithmus 5.5 Fehlerkorrektur mit Reed-Solomon-Codes GF(p 5.5.1 Decodierung von RS-Code über GF(p 5.5.2 Decodierung mit dem euklidischen Algorithmus 5.6 Übungsaufgaben 6 Die DVD 6.1 Problemstellung 6.2 Mathematische Grundlagen 6.3 Informationstheorie: Quellencodierung 6.3.1 Shannon’sche Unsicherheit, Entropie 6.3.2 Shannon-Quellencodiertheorem 6.3.3 Huffman-Codierung 6.3.4 Arithmetische Codierung 6.4 Übungsaufgaben 7 Das Internet 7.1 Problemstellung 7.2 Vielfachzugriff, Multiple Access 7.2.1 Mathematische Grundlagen 7.2.2 Slotted-ALOHA-Protokoll 7.3 Zuverlässige Datenübertragung zwischen Rechnern 7.3.1 Mathematische Grundlagen 7.3.2 Stop-and-wait-ARQ 7.4 Berechnung des kürzesten Wegs im Netz 7.4.1 Dijkstra-Algorithmus 7.5 Kryptologie 7.5.1 Mathematische Grundlagen 7.5.2 Rivest-Shamir-Adleman-(RSA-)Verfahren 7.6 Übungsaufgaben 8 Literatur 9 Bezeichnungen 10 Bildnachweis