Teoria dei numeri

Description

La teoria dei numeri è una delle branche piu antiche della matematica: risalgono infatti ai greci e, al di fuori della cultura occidentale, ai matematici indiani le prime speculazioni sistematiche sulle proprietà dei numeri - quali l'essere primi, quadrati, perfetti, ecc. - e sui metodi algebrici e geometrici atti a dimostrarle. Nel piu vasto campo delle scienze matematiche la teoria dei numeri non ha sempre avuto, in passato, uno statuto esente da ambiguità: imparentata nel Rinascimento con la numerologia, in seguito spesso considerata soltanto ancella dell'analisi o dell'algebra, acquista a poco a poco un interesse specifico imponendosi come disciplina autonoma, anche se pochi matematici fino al pieno Settecento ne comprendono l'importanza. André Weil, uno dei maggiori matematici del nostro secolo - autore di contributi fondamentali in svariati settori della matematica, nonché tra i fondatori del gruppo Bourbaki - in questa sua opera traccia la storia della teoria dei numeri e insieme delinea un'efficace introduzione ai suoi metodi, affiancando alle eleganti dimostrazioni matematiche un'intensa sensibilità di storico e di conoscitore di edizioni antiche. Dopo un'introduzione dedicata in gran parte a Diofanto - autore alessandrino a cui si fanno risalire la maggior parte dei problemi affrontati in seguito dai teorici dei numeri - e alla descrizione dei metodi algebrici sviluppati dall'antica matematica indiana, Weil si concentra sull'analisi dell'opera di quattro grandi matematici: Fermat nel Seicento, Eulero nel Settecento, Lagrange e Legendre fra Sette e Ottocento. E con questi autori che la teoria dei numeri si avvia definitivamente a divenire la disdplina che oggi conosciamo, tuttora ricca di congetture e problemi insoluti: il cosiddetto «ultimo teorema di Fermat», ad esempio, non ha ancora trovato una dimostrazione. André Weil, Teoria dei numeri......Page 1 Colophon......Page 4 Indice......Page 7 Introduzione......Page 9 Prefazione......Page 17 Abbreviazioni, riferimenti e date......Page 19 I......Page 25 II......Page 28 IV......Page 30 V......Page 31 VI......Page 33 VII......Page 35 VIII......Page 37 IX......Page 40 X......Page 47 XI......Page 51 XII......Page 53 I......Page 56 II......Page 62 III......Page 64 IV......Page 66 V......Page 74 VI......Page 77 VII......Page 79 VIII......Page 82 IX......Page 85 X......Page 91 XI......Page 94 XII......Page 98 XIII......Page 106 XIV......Page 114 XV......Page 118 XVI......Page 127 XVII......Page 133 Note......Page 139 1. Campi quadratici euclidei......Page 141 2. Curve di genere 1 in spazi proiettivi......Page 145 3· Le «equazioni doppie» di Fermat come quartiche sghembe......Page 149 4· La discesa e il teorema di Mordell......Page 153 5· L'equazione y² = x³ - 2x......Page 162 Note......Page 169 I......Page 170 II......Page 173 III......Page 178 IV......Page 181 V......Page 185 VI......Page 197 VII......Page 210 VIII......Page 212 IX......Page 218 X......Page 228 XI......Page 234 XII......Page 237 XIII......Page 241 XIV......Page 247 XV......Page 249 XVI......Page 257 XVII......Page 262 XVIII......Page 266 XIX......Page 271 XX......Page 275 XXI......Page 278 XXII......Page 285 Note......Page 286 1. La legge di reciprocità quadratica......Page 290 2. Una dimostrazione elementare per somme di quadrati......Page 294 3. Il teorema di addizione per le curve ellittiche......Page 298 Note......Page 309 I......Page 310 II......Page 314 III......Page 317 IV......Page 318 V......Page 323 VI......Page 325 Note......Page 337 1. Il principio di Hasse per le forme quadratiche ternarie......Page 339 2. Una dimostrazione del teorema di Legendre sulle forme quadratiche binarie positive......Page 346 3. Una dimostrazione del teorema di Lagrange sulle forme quadratiche binarie indefinite......Page 349 Note......Page 357 Fonti e bibliografia......Page 359 Fonti......Page 361 Altre opere......Page 363 Appendice bibliografica all'edizione italiana......Page 367 Indice dei nomi......Page 369 Indice analitico......Page 375