Teoria dos numeros algebraicos

Description

DESCRIÇÃO A Teoria dos números é, em princípio, uma teoria dos números racionais e inteiros e, em grande parte, está ligada ao problema de resolver equações diofantinas, isto é, encontrar soluções inteiras para equações algébricas. Os pré-requisitos necessários para a leitura deste livro foram reduzidos aos conhecimentos mais básicos da Álgebra. As noções básicas sobre corpos, anéis e módulos que serão usadas, encontram-se sem demonstração (mas às vezes com referências) no §0. Resultados adicionais, inclusive os usualmente abordados num curso de Mestrado em Álgebra, serão demonstrados nos parágrafos onde forem utilizados. Espera-se que este livro seja útil para divulgar os números algébricos no Brasil e estimular estudos mais profundos na Teoria dos Números, que costuma ser chamada de “Rainha da Matemática”. Pode servir também como uma introdução suave e bem motivada a alguns tópicos de Álgebra Comutativa, pois nele as noções abstratas desta teoria são introduzidas para serem imediatamente aplicadas ao caso concreto de números algébricos. Prólogo CAPÍTULO I – CORPOS DE NÚMEROS ALGÉBRICOS 0. Noções básicas sobre corpos, anéis e módulos 1. O anel IL dos inteiros algébricos 2. Corpos quadráticos 3. Corpos ciclotômicos 4. Discriminante 5. Bases integrais CAPÍTULO II – ANÉIS NOETHERIANOS E DOMÍNIOS DE DEDEKIND 6. O Teorema Chinês de Restos 7. Anéis noetherianos e módulos noetherianos 8. Domínios de Dedekind CAPÍTULO III – CLASSES DE IDEAIS 9. Norma de ideais 10. Finitude do número de classes CAPÍTULO IV – EXTENSÕES DE DOMÍNIOS DE DEDEKIND 11. Anéis de frações de um domínio 12. Decomposição de ideais primos 13. Um teorema de Kummer. Ramificação CAPÍTULO V – DECOMPOSIÇÃO EM CORPOS CICLOTÓMICOS E QUADRÁTICOS 14. Decomposição em corpos ciclotômicos 15. Decomposição em corpos quadráticos 16. Reciprocidade quadrática CAPÍTULO VI – O MÉTODO GEOMÉTRICO 17. Redes no Rn 18. Representações geométricas de números algébricos 19. Invertíveis em corpos quadráticos CAPÍTULO VII – EXTENSÕES GALOISIANAS 20. Grupo e corpo de decomposição 21. Grupos e corpos de inércia e de ramificação Epílogo Referências Índice de notações Índice alfabético