Устойчивость и локализация в хаотической динамике

Description

Эргодическая теория динамических систем - область математики, интенсивно развивающаяся в последние десятилетия и находящая многочисленные приложения в различных разделах физики, техники, биологии и других наук. В монографии дается систематическое изложение Операторного подхода в теории хаотических динамических систем, основанного на анализе спектральных свойств оператора Перрона-Фробениуса, описывающего динамику плотностей мер под действием динамической системы. Одним из центральных вопросов здесь является вопрос об устойчивости относительно малых случайных (квазислучайных) возмущений статистических характеристик динамики. Противоположной ситуацией, связанной с крайней неустойчивостью динамической системы, является явление локализации, которое в монографии прослеживается для самых разных характеристик, начиная со стабилизации сингулярных инвариантных мер и кончая спектральной локализацией. Подробно изучены также вопросы численного Моделирования хаотической динамики, в частности, аппроксимация динамики при помощи конечных марковских цепей по методу Улама.\nДля студентов, аспирантов и научных работников в области математики и математической физики. Титульный лист......Page 2 1.1. Понятия устойчивости и локализации в хаотической динамике......Page 5 1.2. Термодинамический формализм. Основные определения и идеи......Page 11 1.3. Символическая динамика......Page 16 1.4. Динамические системы с особенностями......Page 22 1.5. Хаос по Ли-Йорке и порядок Шарковского......Page 25 1.6. Отображение Пуанкаре и измеримая замена времени......Page 26 2.1. Оператор Перрона-Фробениуса и eгo свойства......Page 31 2.2. Абстрактная эргодическая теорема Ионеску-Тульчи и Маринеску......Page 32 2.3. Пространства функций ограниченной вариации......Page 41 2.4. Кусочно растягивающие отображения......Page 63 2.5. Условно инвариантные меры и нейтральные особенности......Page 76 2.6. Конечномерные стохастические аттракторы некоторых бесконечномерных систем......Page 83 3.1. Устойчивость стохастических аттракторов гладких гиперболических систем......Page 91 3.2. Консервативность множества инвариантных мер......Page 95 3.3. Устойчивость стохастических аттракторов систем с особенностями......Page 97 3.4. Контрпример. Стабилизация сингулярных инвариантных мер (локализация)......Page 101 3.5. Случайные возмущения общих одномерных кусочно pacтягивающих отображений......Page 106 3.6. Наиболее вероятные траектории динамической системы......Page 135 4.1. Определения и простейшие примеры......Page 153 4.2. Случайные сжимающие в среднем отображения......Page 156 4.3. Случайные растягивающие в среднем отображения......Page 162 5.1. Определение ПФ-спектра и eгo связь со статистическими характеристиками динамической системы......Page 172 5.2. Методы анализа спектра трансфер-операторов......Page 179 5.3. Анализ устойчивости спектра абстрактных трансфер-операторов......Page 184 5.4. Оценка спектрального зазора......Page 194 5.5. Устойчивость изолированных собственных значений......Page 204 5.6. Спектр Перрона-Фробениуса для случайных отображений......Page 223 6.1. Определения и основные проблемы......Page 241 6.2. Операторный подход для многокомпонентных систем......Page 247 6.3. Локализация в многокомпонентных системах с периодически ми точками поворота......Page 253 6.4. Локализация в многокомпонентных системах с гладкими локальными отображениям......Page 260 7.1. Определения и основные примеры......Page 262 7.2. Свойства периодических траекторий при дискретизации......Page 264 7.3. Статистические вероятности для дискретизованных систем......Page 272 7.4. Случай нейтральной периодической траектории......Page 277 7.5. Версия теории КАМ для систем с ошибками округления......Page 286 7.6. Относительный объем максимального инвариантного множества дискретизованной системы......Page 298 7.7. Частичная пространственная дискретизация......Page 301 7.8. Более детальная модель округления......Page 303 8.1. Численная аппроксимация инвариантных мер......Page 310 8.2. Отслеживание отдельных траекторий негиперболических систем......Page 323 8.3. Отслеживание в среднем для малых в среднем возмущений......Page 327 Список литературы......Page 337