Архетипы математики: общие методы, приемы, конструкции, идеи математики и ее оснований

Description

В книге на примере изучения логики, теории множеств, алгебры, геометрии, анализа, теории графов рассматриваются некоторые общие характерные приемы и методы конструирования математических объектов и теорий, так называемые архетипы. Даются их наименования, описание и ссылки на них по ходу изложения материала. Сам материал представлен как на наивном, так и на современном строгом уровне, ряд теорем приводится с доказательством, подробно рассматривается построение конечных множеств и логики первого порядка с целью донести до широкого круга читателей возможность компьютерного моделирования математических доказательств. Вместе с тем, делается акцент на необходимости участия человека в этом процессе. В книге также дается ряд примеров из теории чисел, в частности, доказательство Великой Теоремы Ферма для случая 𝑜 = 3,4, подробно рассмотрена теорема Гудстейна. Кроме того, проводится детальное описание движений в геометрии, всесторонне рассматривается аксиома выбора и ее влияние на математику, приводится ряд примеров из теории случайных графов с анализом их свойств. Официальный сайт книги: https://mathem.at. Ключевые слова: теория множеств, основания математики, алгебра, теория групп, топология, теория вероятностей, теория графов, геометрия, теорема Гудстейна, теоремы Геделя, квантовые вероятности. Введение Глава 1. Множества и мультимножества Начальные множества Грамматика теории множеств Рекурсия и индукция Первые архетипы Финальные дополнения к языку Равенство, принадлежность и объекты теории Скобочная запись множеств Числа грамматики мультимножества Универсальные множества и универсальный код Теорема Гудстейна Аксиоматика Цермело–Френкеля Равенство и единственность Ограничительные аксиомы Первая бесконечность Основные инструменты Порядок отношений и отношения порядка Трансфинитная рекурсия Перечень инструментов Универсумы и мультимножества Глава 2. Числа Арифметика порядковых чисел Сложение Умножение Степень Разложения ординалов Доказательство теоремы Гудстейна мультимножества Кардинальная арифметика Немного теории чисел Числовые структуры Группы, кольца, поля Целые числа Рациональные числа Поле действительных чисел Гипердействительные числа Сюрреальные числа Поле комплексных чисел Глава 3. Дальнейшие обобщения чисел Окно в общую алгебру Архетип переноса свойств на базовое множество Алгебраические структуры Алгебра множеств Немного теории групп Идеалы, модули, базис Матричное представление чисел Гауссовы целые числа Делимость и простые числа Некоторые приложения гауссовых чисел Целые числа Эйзенштейна Линейные пространства и операторы Экскурс в геометрию Движения в действительном пространстве Движения в R3, кватернионы Подобия в действительных пространствах Аффинные преобразования и однородные координаты Проективная геометрия Нестандартные геометрии Геометрия на сфере Многочлены Конечные алгебраические расширения Свойства многочленов О построениях циркулем и линейкой Нормальные расширения Элементы классической теории Галуа Группы: завершающий аккорд Числовые архетипы Глава 4. Матлогика. Исчисления I Исчисление высказываний и предикатов Исчисление высказываний Исчисление предикатов Модели Ультрастепени Примеры формальных теорий Аксиома выбора: полезная и странная Полезные следствия аксиомы выбора Странные следствия аксиомы выбора О сверхбольших кардиналах Конкурент AC: аксиома детерминированности Промежуточный итог Вычислимость и доказуемость Нестрогое введение в теорему Гёделя о неполноте О вычислимости, разрешимости, перечислимости Про сигма-определимость Доказательство теорем Гёделя Несколько слов о рекурсиях Глава 5. Анализ. Исчисления II Пространства и отображения Связность и непрерывность Непрерывность и группы Фильтры и пределы Компактность Метрика Норма и скалярное произведение Ограниченные операторы Псевдометрика Мера и интеграл Преобразования пространств Конечные разности и вариации Смещения и разности Пространство смещений Целочисленные разности Вариации и дифференциалы Вариационное исчисление Вероятности Классическая вероятность Квантовая вероятность Общий алгебраический подход Несколько слов об общей картине Глава 6. Графы Подходы к определению Обычные графы Разнообразие деревьев Вероятности на графах Модель Эрдёша–Реньи Случайные деревья и леса Финал Приложение A. Указатель архетипов Приложение B. Схемы и таблицы Приложение C. Листинги программ Список литературы