Математический анализ. Ч.1

Description

Титульный лист Выходные данные Оглавление Из предисловия к первому изданию Из предисловия ко второму изданию Предисловие к седьмому изданию Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения § 1. Логическая символика 1. Связки и скобки 2. Замечания о доказательствах 3. Некоторые специальные обозначения 4. Заключительные замечания Упражнения § 2. Множества и элементарные операции над множествами 1. Понятие множества 2. Отношение включения 3. Простейшие операции над множествами Упражнения § 3. Функция 1. Понятие функции (отображения) 2. Простейшая классификация отображений 3. Композиция функций и взаимно обратные отображения 4. Функция как отношение. График функции Упражнения § 4. Некоторые дополнения 1. Мощность множества (кардинальные числа) 2. Об аксиоматике теории множеств 3. Замечания о структуре математических высказываний и записи их на языке теории множеств Упражнения Глава II. Действительные (вещественные) числа § 1. Аксиоматика и некоторые общие свойства множества действительных чисел 1. Определение множества действительных чисел 2. Некоторые общие алгебраические свойства действительных чисел 3. Аксиома полноты и существование верхней (нижней) грани числового множества § 2. Важнейшие классы действительных чисел и вычислительные аспекты операций с действительными числами 1. Натуральные числа и принцип математической индукции 2. Рациональные и иррациональные числа 3. Принцип Архимеда 4. Геометрическая интерпретация множества действительных чисел и вычислительные аспекты операций с действительными числами Задачи и упражнения § 3. Основные леммы, связанные с полнотой множества действительных чисел 1. Лемма о вложенных отрезках (принцип Коши—Кантора) 2. Лемма о конечном покрытии (принцип Бореля—Лебега) 3. Лемма о предельной точке (принцип Больцано—Вейерштрасса) Задачи и упражнения § 4. Счетные и несчетные множества 1. Счетные множества 2. Мощность континуума Задачи и упражнения Глава III. Предел § 1. Предел последовательности 1. Определения и примеры 2. Свойства предела последовательности 3. Вопросы существования предела последовательности 4. Начальные сведения о рядах Задачи и упражнения § 2. Предел функции 1. Определения и примеры 2. Свойства предела функции 3. Общее определение предела функции (предел по базе) 4. Вопросы существования предела функции Задачи и упражнения Глава IV. Непрерывные функции § 1. Основные определения и примеры 1. Непрерывность функции в точке 2. Точки разрыва § 2. Свойства непрерывных функций 1. Локальные свойства 2. Глобальные свойства непрерывных функций Задачи и упражнения Глава V. Дифференциальное исчисление § 1. Дифференцируемая функция 1. Задача и наводящие соображения 2. Функция, дифференцируемая в точке 3. Касательная; геометрический смысл производной и дифференциала 4. Роль системы координат 5. Некоторые примеры Задачи и упражнения § 2. Основные правила дифференцирования 1. Дифференцирование и арифметические операции 2. Дифференцирование композиции функций 3. Дифференцирование обратной функции 4. Таблица производных основных элементарных функций 5. Дифференцирование простейшей неявно заданной функции 6. Производные высших порядков Задачи и упражнения § 3. Основные теоремы дифференциального исчисления 1. Лемма Ферма и теорема Ролля 2. Теоремы Лагранжа и Коши о конечном приращении 3. Формула Тейлора Задачи и упражнения § 4. Исследование функций методами дифференциального исчисления 1. Условия монотонности функции 2. Условия внутреннего экстремума функции 3. Условия выпуклости функции 4. Правило Лопиталя 5. Построение графика функции Задачи и упражнения § 5. Комплексные числа и взаимосвязь элементарных функций 1. Комплексные числа 2. Сходимость в C и ряды с комплексными членами 3. Формула Эйлера и взаимосвязь элементарных функций 4. Представление функции степенным рядом, аналитичность 5. Алгебраическая замкнутость поля C комплексных чисел Задачи и упражнения § 6. Некоторые примеры использования дифференциального исчисления в задачах естествознания 1. Движение тела переменной массы 2. Барометрическая формула 3. Радиоактивный распад, цепная реакция и атомный котел 4. Падение тел в атмосфере 5. Еще раз о числе e и функции exp x 6. Колебания Задачи и упражнения § 7. Первообразная 1. Первообразная и неопределенный интеграл 2. Основные общие приемы отыскания первообразной 3. Первообразные рациональных функций 4. Первообразные вида ∫R(cos x, sin x)dx 5. Первообразные вида ∫R(x, y(x))dx Задачи и упражнения Глава VI. Интеграл § 1. Определение интеграла и описание множества интегрируемых функций 1. Задача и наводящие соображения 2. Определение интеграла Римана 3. Множество интегрируемых функций Задачи и упражнения § 2. Линейность, аддитивность и монотонность интеграла 1. Интеграл как линейная функция на пространстве R[a, b] 2. Интеграл как аддитивная функция отрезка интегрирования 3. Оценка интеграла, монотонность интеграла, теоремы о среднем Задачи и упражнения § 3. Интеграл и производная 1. Интеграл и первообразная 2. Формула Ньютона—Лейбница 3. Интегрирование по частям в определенном интеграле и формула Тейлора 4. Замена переменной в интеграле 5. Некоторые примеры Задачи и упражнения § 4. Некоторые приложения интеграла 1. Аддитивная функция ориентированного промежутка и интеграл 2. Длина пути 3. Площадь криволинейной трапеции 4. Объем тела вращения 5. Работа и энергия Задачи и упражнения § 5. Несобственный интеграл 1. Определения, примеры и основные свойства несобственных интегралов 2. Исследование сходимости несобственного интеграла 3. Несобственные интегралы с несколькими особенностями Задачи и упражнения Глава VII. Функции многих переменных, их предел и непрерывность § 1. Пространство R^m и важнейшие классы его подмножеств 1. Множество R^m и расстояние в нем 2. Открытые и замкнутые множества в R^m 3. Компакты в R^m Задачи и упражнения § 2. Предел и непрерывность функции многих переменных 1. Предел функции 2. Непрерывность функции многих переменных и свойства непрерывных функций Задачи и упражнения Глава VIII. Дифференциальное исчисление функций многих переменных § 1. Векторная структура в Rm 1. Rm как векторное пространство 2. Линейные отображения L: R^m -> R^n 3. Норма в R^m 4. Евклидова структура в R^m § 2. Дифференциал функции многих переменных 1. Дифференцируемость и дифференциал функции в точке 2. Дифференциал и частные производные вещественнозначной функции 3. Координатное представление дифференциала отображения. Матрица Якоби 4. Непрерывность, частные производные и дифференцируемость функции в точке § 3. Основные законы дифференцирования 1. Линейность операции дифференцирования 2. Дифференцирование композиции отображений 3. Дифференцирование обратного отображения Задачи и упражнения § 4. Основные факты дифференциального исчисления вещественнозначных функций многих переменных 1. Теорема о среднем 2. Достаточное условие дифференцируемости функции многих переменных 3. Частные производные высшего порядка 4. Формула Тейлора 5. Экстремумы функций многих переменных 6. Некоторые геометрические образы, связанные с функциями многих переменных Задачи и упражнения § 5. Теорема о неявной функции 1. Постановка вопроса и наводящие соображения 2. Простейший вариант теоремы о неявной функции 3. Переход к случаю зависимости F(x^1,…, x^m, y)=0 4. Теорема о неявной функции Задачи и упражнения § 6. Некоторые следствия теоремы о неявной функции 1. Теорема об обратной функции 2. Локальное приведение гладкого отображения к каноническому виду 3. Зависимость функций 4. Локальное разложение диффеоморфизма в композицию простейших 5. Лемма Морса Задачи и упражнения § 7. Поверхность в R^n и теория условного экстремума 1. Поверхность размерности k в R^n 2. Касательное пространство 3. Условный экстремум Задачи и упражнения Некоторые задачи коллоквиумов Вопросы к экзамену Дополнения 1. Математический анализ (вводная лекция для первого курса) 2. Начальные сведения о численных методах решения уравнений 3. Преобразование Лежандра (первое обсуждение) 4. Интеграл Римана—Стилтьеса, дельта-функция и идея обобщенных функций (начальные представления) 5. Формула Эйлера—Маклорена 6. Теорема о неявной функции (альтернативное изложение) Литература Предметный указатель Указатель имен