Autour de l'Approximation Semi-Classique

Description

Non-relativistic quantum mechanics was founded on the correspondence principle of Bohr: "When the Planck constant h can be considered small in respect to the other parameters such as masses and distances, quantum theory approaches classical theory (Newtonian mechanics)." This book gives a mathematical description of Bohr's principle that is based on modern ideas from partial differential equations theories: pseudodifferential and Fourier-integral operators, microlocal analysis, and functional analysis. The core of this work consists of an exposition of recent global results by B. Helffer and D. Robert. It is a precise study of the quantum dynamics by the B.K.VV. method with application to the semi-classical approximation of the discrete energy levels for the Schrodinger Hamiltonian. This book can be used as a graduate-level text for students in partial differential equations and mathematical physics, and is a valuable resource for teachers and researchers in theoretical physics and mathematical analysis as well. PLAN Introduction aux principes de la mécanique quantique non relativiste. §1- Aperçu historique et données expérimentales. . . 1 §2- Le principe d'incertitude de Heisenberg... 9 §3- Quantification 14 §4- Equation de Schrodinger et principe de correspondance 24 II: Opérateurs h-admissibles. §1- Introduction 38 §2- Une classe générale d'opérateurs intégraux de Fourier 4 0 §3- Opérateurs h-admissibles, premières propriétés.. 52 §4- Calcul symbolique sur les opérateurs h-admissibles 60 §5- Théorèmes de Continuité et de Compacité... 82 §6- Quelques compléments sur la quantification de Weyl 109 III: Calcul fonctionnel sur les opérateurs h-admissibles. §1- Préliminaires 121 §2- Une classe d'opérateurs h-admissibles essentiellement autoadjoints 129 §3- Résolvantes et puissances complexes d'opérateurs h-admissibles 134 §4- Calcul fonctionnel et premières applications.. 142 - Opérateurs essentiellement autoadjoints... 152 - Spectre essentiel 169 IV: Trajectoires classiques et évolution quantique. §1- Notions sur la représentation de Heisenberg de la mécanique quantique 186 §2- Fonctionnelles admissibles 189 §3- Systèmes hamiltoniens 198 §4- Propagation du support essentiel 202 §5- L'équation de Hamilton-Jacobi 210 §6- Etude du groupe unitaire e~ ' .... 216 V: Propriétés semi-classiques du spectre discret. §1- Rappels sur la méthode de la phase stationnaire. . . 246 §2- Relation de Poisson semi-classique 248 §3- Etude de S?(t) en t = 0 256 §4- Répartition asymptotique des valeurs propres. 263 Problèmes et compléments 270 Commentaires et notes bibliographiques 307 Bibliographie 317 Epilogue 329