Линейная алгебра с приложениями: учебное пособие для вузов

Description

В книге рассматриваются основные понятия, идеи и методы линейной алгебры. Многочисленные примеры, связанные как с конечномерными и конечными линейными пространствами, так и бесконечномерными, демонстрируют их применение в других разделах математики: математическом анализе, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории рядов и т. д. Часть примеров относится к линейным пространствам над конечными полями. Материал книги может использоваться в процессе обучения целиком или частично. Пособие предназначено для студентов вузов всех направлений и специальностей (особенно хорошо подходит для студентов технических направлений, направлений «Прикладная математика», «Прикладная информатика»), изучающих линейную алгебру в виде отдельной дисциплины или как часть общего курса высшей математики. От автора Глава 1. Вводные сведения § 1. Множества, подмножества § 2. Отображения и операции § 3. Преобразования и подстановки § 4. Комплексные числа § 5. Комплексные числа в тригонометрической и экспоненциальной форме § 6. Поля § 7. Матрицы и операции над ними § 8. След, определитель и ранг § 9. Обратимые матрицы § 10. Некоторые виды матриц § 11. Формулы Крамера § 12. Метод Гаусса и теорема о ранге произведения матриц Упражнения Глава 2. Линейные пространства § 1. Линейные пространства § 2. Линейные подпространства, комбинации и оболочки § 3. Линейно (не)зависимые системы векторов § 4. Базисы, размерность и координаты § 5. Связь между координатами вектора в разных базисах § 6. Операции c линейными подпространствами § 7. Дополнительное линейное подпространство § 8. Линейные многообразия Упражнения Глава 3. Предгильбертовы пространства § 1. Предгильбертовы пространства § 2. Матрица Грама § 3. Длина вектора и угол между ненулевыми векторами § 4. Ортогональные системы векторов § 5. Процесс ортогонализации § 6. Ортогональное дополнение подпространства Упражнения Глава 4. Линейные операторы § 1. Линейные операторы § 2. Матричное представление линейного оператора § 3. Алгебры линейных операторов § 4. Связь между координатами вектора и его образа § 5. Связь между матрицами линейного оператора § 6. След, определитель, ранг и дефект линейного оператора § 7. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора § 8. Вычисление собственных значений и векторов § 9. Диагонализация матрицы линейного оператора § 10. Инвариантные линейные подпространства § 11. Ортогональные и симметрические операторы Упражнения Глава 5. Билинейные формы § 1. Билинейные формы § 2. Квадратичные формы § 3. Диагонализация матрицы квадратичной формы в евклидовом пространстве § 4. Приведение матрицы квадратичной формы к диагональному виду методом Лагранжа § 5. Приведение матрицы квадратичной формы к диагональному виду методом Якоби § 6. Закон инерции и знакоопределенные квадратичные формы Упражнения Ответы к упражнениям Указатель терминов и обозначений