Лекции по аналитической геометрии, пополненные необходимыми сведениями из алгебры с приложением собрания задач, снабженных решениями, составленного А. С. Пархоменко

Description

Учебник по аналитической геометрии написан на основе лекций, читавшихся автором в течение многих лет в Московском государственном университете, пополненных необходимыми сведениями из алгебры. Весь обычный материал аналитической геометрии излагается с аффинной и метрической точек зрения, элементарные сведения по аналитической геометрии приведены в XXI–XXIII главах. Необходимой и существенной частью книги является сборник задач, составленный А. С. Пархоменко. Задачи снабжены решениями. Учебник предназначен для студентов университетов и технических вузов. Предисловие Глава I. Координаты на прямой § 1. Отношение отрезков § 2. Направленные отрезки (векторы); их отношение § 3. Ось. Алгебраическое значение (координата) вектора на оси § 4. Сложение векторов на прямой § 5. Система координат на прямой § 6. Деление отрезка в данном отношении § 7. Пропорциональность пар чисел § 8. Бесконечно удаленная точка прямой § 9. Пропорциональность двух последовательностей, состоящих из п чисел Глава II. Векторы § 1. Равенство векторов. Свободный вектор § 2. Линейные операции над векторами (сложение и умножение на число § 3. Проекции § 4. Коллинеарные и компланарные векторы; координаты вектора относительно данного базиса § 5. Линейная зависимость и независимость векторов § 6. Геометрический смысл линейной зависимости векторов § 7. Векторные многообразия Глава III. Аффинная система координат на плоскости и в пространстве § 1. Определение аффинной системы координат § 2. Перенес начала координат § 3. Деление отрезка в данном отношении Глава IV. Прямоугольная система координат. Полярные координаты § 1. Прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Расстояние между двумя точками. Уравнения окружности и сферы § 2. Скалярное произведение векторов; угол между двумя векторами § 3. Угол от одного вектора до другого на плоскости § 4. Полярная система координат на плоскости § 5. Полярная система координат в пространстве Глава V. Прямая линия § 1. Направляющий вектор и угловой коэффициент прямой (в произвольной аффинной системе координат). Уравнение прямой § 2. Расположение двух прямых на плоскости § 3. Частные случаи общего уравнения прямой § 4. Векторная и параметрическая форма уравнения прямой. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки § 5. Задача: когда прямая Ах + Ву + С = 0 на плоскости проходит через точку пересечения двух заданных прямых А1х + В1у + С1 = 0 и А2х + В2у + С2 = 0? § 6. Две полуплоскости, определяемые данной прямой на плоскости § 7. Прямая на плоскости в прямоугольной системе координат. Нормальное уравнение прямой на плоскости § 8. Расстояние от точки до прямой (на плоскости) § 9. Углы, образуемые двумя прямыми на плоскости § 10. Прямая в пространстве, снабженном прямоугольной системой координат Глава VI. Парабола. Эллипс. Гипербола § 1. Парабола § 2. Определение и каноническое уравнение эллипса § 3. Параметрическая запись уравнения эллипса; построение эллипса по точкам. Эллипс как результат сжатия окружности к одному из ее диаметров § 4. Эллипс как проекция окружности и как сечение круглого цилиндра § 5. Определение гиперболы. Каноническое уравнение гиперболы § 6. Основной прямоугольник и асимптоты гиперболы § 7. Директрисы эллипса и гиперболы § 8. Фокальный параметр эллипса и гиперболы. Уравнение при вершине § 9. Уравнение эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах Глава VII. Детерминанты § 1. Площадь ориентированного параллелограмма и треугольника § 2. Детерминант второго порядка. Матрицы § 3. Детерминанты третьего порядка § 4. Разложение детерминанта третьего порядка по элементам какой-либо строки. Приложение к системе трех уравнений с тремя неизвестными (правило Крамера) § 5. Системы трех уравнений с тремя неизвестными с детерминантом системы, равным нулю § 6. Арифметическое n-мерное векторное многообразие (пространство) Общее определение матрицы. Детерминанты любого порядка § 7. Разложение детерминанта n-го порядка по элементам данной строки (данного столбца) § 8. Правило Крамера для решения систем n уравнений с n неизвестными § 9. Общее определение миноров матрицы. Теорема Лапласа § 10. Умножение детерминантов § 11. Детерминант n-го порядка как линейная нечетная нормированная функция от n векторов Глава VIII. Преобразование координат. Матрицы § 1. Переход от одной аффинной системы координат к другой § 2. Перемножение матриц. Новое определение обратной матрицы § 3. Переход от одной прямоугольной системы координат к другой § 4. Действия над матрицами в общем случае Глава IX. Преобразование координат (продолжение): ориентация плоскости и пространства; углы Эйлера; объем ориентированного параллелепипеда; векторное произведение двух векторов § 1. Ориентация пространства (плоскости) § 2. Углы Эйлера § 3. Объем ориентированного параллелепипеда § 4. Векторное произведение двух векторов Глава X. Плоскость т прямая в пространстве § 1. Уравнения плоскости § 2. Множество решений системы двух однородных линейных уравнений с тремя неизвестными § 3. Взаимное расположение двух плоскостей § 4. Прямая как пересечение двух плоскостей § 5. Пучок плоскостей § 6. Взаимное расположение двух прямых в пространстве § 7. О двух полупространствах, определяемых данной плоскостью § 8. Плоскость в прямоугольной системе координат; нормальное уравнение плоскости; расстояние от точки до плоскости § 9. Угол между прямой и плоскостью; угол между двумя плоскостями § 10. Две задачи Глава XI. Движения и аффинные преобразования § 1. Определение движений и аффинных преобразований § 2. Преобразование векторов при аффинном преобразовании плоскости и пространства. Основные свойства аффинных преобразований § 3. Аналитическое выражение аффинных преобразований § 4. Сохранение отношений площадей и объемов при аффинных преобразованиях § 5. Получение собственных аффинных преобразований посредством деформации тождественного преобразования. Следствия § 6. Движения как изометрические преобразования § 7. Преобразования подобия § 8. Классификация движений прямой и плоскости Глава XII. Векторные пространства (многообразия) любого конечного числа измерений. Системы линейных однородных уравнений § 1. Определение векторного пространства § 2. Размерность. Базис. Координаты § 3. Теорема об изоморфизме между любыми двумя векторными пространствами одной и той же конечной размерности п § 4. Подпространства векторного пространства. Дальнейшие теоремы о линейной зависимости векторов и о базисе векторного пространства § 5. Алгебраическая (в частности, прямая) сумма подпространств § 6. Линейные отображения векторных пространств § 7. Теорема о ранге матрицы § 8. Системы линейных однородных уравнений Глава XIII. Линейные, билинейные и квадратичные функции на векторных пространствах § 1. Линейные функции § 2. Билинейные функции и билинейные формы § 3. Матрица билинейной и квадратичной формы и ее преобразование при переходе к новому базису (при преобразовании переменных) § 4. Ранг билинейной и квадратичной формы (билинейной и квадратичной функции) § 5, Существование канонического базиса для всякой квадратичной и всякой билинейной функции («приведение квадратичных форм к каноническому виду») Глава XIV. Точечно-векторное аффинное n-мерное пространство Rn § 1. Определение n-мерного аффинного пространства § 2. Системы координат. Арифметическое пространство Rn. Изоморфизм всех n-мерных пространств между собою § 3. r-мерные плоскости n-мерного аффинного пространства; r-мерные параллелепипеды § 4. Геометрически независимые системы точек. Барицентрические координаты. Симплексы § 5. Системы линейных уравнений § 6. Аффинные преобразования n-мерного аффинного пространства Rn Глава XV. Алгебраические линии и поверхности. Комплексная плоскость и комплексное пространство § 1. Определение алгебраических линий и поверхностей § 2. Преобразование многочлена второй степени при преобразовании координат § 3. Аффинная эквивалентность линий и поверхностей § 4. Комплексная плоскость § 5. Прямая линия на комплексной плоскости § 6. Замечание о действительных и мнимых линиях § 7. Комплексное пространство § 8. Распадающиеся линии и поверхности. Цилиндрические и конические поверхности. Поверхности вращения § 9. Несколько заключительных замечаний о линиях и поверхностях Глава XVI. Различные виды кривых второго порядка § 1. О линиях, определяемых уравнениями второй степени с двумя неизвестными § 2. Инварианты многочлена второй степени § 3. Центральный случай § 4. Параболический случай: 6 = 0 § 5. Аффинная классификация кривых второго порядка § 6. Несколько заключительных замечаний Глава XVII. Общая теория кривых второго порядка § 1. Пересечение алгебраической кривой с прямой. Асимптотические направления и асимптоты алгебраической кривой § 2. Теорема единственности для кривых второго порядка. Пучок кривых второго порядка § 3. Асимптотические направления кривых второго порядка § 4. Пересечение кривой второго порядка с прямой неасимптотического направления. Касательные § 5. Пересечение кривой второго порядка с прямой асимптотического направления. Геометрическая характеристика асимптотических и неасимптотических направлений § 6. Центр кривой второго порядка § 7. Диаметры кривой второго порядка § 8. Взаимно сопряженные векторы (направления). Диаметры и касательные § 9. Вид уравнения кривой, если оси координат имеют сопряженные направления § 10. Второе доказательство теоремы единственности. О полноте системы ортогональных инвариантов § 11. Оси симметрии и главные направления кривой второго порядка § 12. Основная теорема об аффинных преобразованиях Глава XVIII. Краткое описание различных видов поверхностей второго порядка § 1. Распадающиеся поверхности § 2. Цилиндрические поверхности § 3. Конусы второго порядка § 4. Эллипсоиды и гиперболоиды § 5. Параболоиды § 6, Прямолинейные образующие Глава XIX. Общая теория поверхностей второго порядка. I (пересечение с плоскостью и с прямой; асимптотические направления; касательная плоскость; центр) § 1. Ранг и детерминант малой и большой матрицы многочлена второй степени § 2. Пересечение поверхности второго порядка с плоскостью § 3. Пересечение поверхности второго порядка с прямой. Асимптотические направления. Касательные прямые и касательная плоскость. Особые точки поверхности второго порядка § 4. Асимптотические направления, конус асимптотических направлений, прямолинейные образующие поверхностей второго порядка § 5. Центр поверхности второго порядка Глава XX. Общая теория поверхностей второго порядка. II (диаметральные плоскости; особые и главные направления; аффинная классификация) § 1. Диаметральные плоскости. Особые направления § 2. Диаметральные плоскости поверхностей различных видов § 3. Сопряженные направления § 4. Уравнение поверхности второго порядка относительно координатной системы с сопряженными направлениями осей § 5. Теорема единственности § 6. Главные направления § 7. Приведение к каноническому виду уравнения поверхности второго порядка § 8. Аффинная классификация поверхностей второго порядка Глава XXI. Проективная плоскость § 1. Перспективное соответствие между плоскостью и связкой § 2. Однородные координаты точек на плоскости и лучей в связке § 3. Координаты прямой; арифметическая проективная плоскость; общее определение проективной плоскости § 4. Принцип двойственности для проективной плоскости § 5. Проективная система координат в связке и на проективной плоскости § 6. Проективные преобразования и отображения проективной плоскости § 7. Проективные координаты на прямой. Проективные отображения прямой § 8. Двойное отношение Глава XXII. Кривые второго порядка на проективной плоскости § 1. Определение. Теорема единственности § 2. Пересечение кривой второго порядка с прямой. Касательные; асимптоты § 3. Пучок кривых второго порядка. Второе доказательство теоремы единственности. Теорема Паскаля. Теорема Штейнера § 4. Поляры и полюсы § 5. Коррелятивное, в частности полярное, соответствие. Тангенциальное уравнение кривой § 6 Диаметры как поляры несобственных точек § 7. Автополярный треугольник § 8. Проективная классификация кривых второго порядка Глава XXIII. Начальные сведения из аналитической геометрии проективного пространства § 1. Проективное пространство; его плоскости и прямые § 2. Проективные координаты. Проективные преобразования § 3. Понятие об n-мерном проективном пространстве § 4. Поверхности второго порядка в проективном пространстве. Теорема единственности § 5. Пересечение поверхности второго порядка с плоскостью и с прямой. Касательные прямые. Касательная плоскость. Прямолинейные образующие § 6. Полюсы и полярные плоскости § 7. Проективная классификация поверхностей второго порядка § 8. Распределение по проективным классам поверхностей различных аффинных классов. Проективно-аффинная классификация поверхностей второго порядка Глава XXIV. Евклидово n-мерное пространство § 1. Введение. Ортогональные матрицы § 2. Положительно определенные симметричные билинейные функции в векторном пространстве § 3. Определение евклидовых пространств и простейших относящихся к ним понятий § 4. Неравенство Коши– Буняковского и его следствия. Углы § 5. Подпространства евклидовых пространств. Ортогональное дополнение к данному подпространству Глава XXV. Линейные операторы, билинейные и квадратичные функции в евклидовых пространствах. Поверхности второго порядка § 1. Инвариантные подпространства и собственные векторы линейного оператора в любом векторном пространстве § 2. Ортогональные преобразования n-мерного евклидова пространства § 3. Движения трехмерного евклидова пространства § 4. Преобразования подобия. Дальнейшие проблемы § 5. Самосопряженные операторы § 6. Теорема о структуре произвольного линейного преобразования евклидова пространства § 7. Билинейные и квадратичные формы в евклидовых пространства § 8. (п — 1)-мерные многообразия (поверхности) второго порядка в n-мерном аффинном и евклидовом пространствах Прибавление. Перестановки, множества и их отображения; группы § 1. Перестановки § 2. Множества § 3. Отображения или функции § 4. Разбиение множества на подмножества. Отношение эквивалентности § 5. Определение группы § 6. Простейшие теоремы о группах § 7. Эквивалентность подмножеств данного множества по отношению к данной группе его преобразований Задачи Предметный указатель